Mathematik für Faule: Laplace- und eben-differenzierbare Zuordnungen/Zuordnungen endlichen Hochgrades

Satz (Satz von Liouville für den Realteil):

Es sei $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ eben-differenzierbar. Falls für ein $n\in \mathbb {N}$ die Abschätzung

$\Re f(z)\in O(|z|^{n})$

gilt, so ist $f$ ein Polynom, dessen Grad ferner höchstens $n$ ist.

Beweis: $\Re f$ ist harmonisch, weshalb es nach dem Satz von Liouville ein Polynom vom Grad höchstens $n$ ist. Aufgrund der Cauchy–Riemann-Gleichungen ist auch $\Im f$ ein Polynom. Somit ist $f$ ein Polynom. Den Grad liest man dann am Wachstumsverhalten auf der reellen Achse ab. $\Box$