Mathematik für Faule: Divoidtheorie und Polynomalgebra/Der Satz von Gauß–Wantzel

Satz (Beschreibung des Kreisteilungspolynoms):

Das $n$-te Kreisteilungspolynom ist gegeben durch

$\Phi _{n}(x):=\prod _{(n,k)=1}\left(x-e^{2\pi ik/n}\right)$.

Der Grad dieses Polynoms ist $\varphi (n)$.

Beweis: Es ist $\mathbb {Q} (e^{2\pi i/n})$, das $n$-te Kreisteilungsdivoid, gegeben durch das Zerfällungsdivoid von $x^{n}-1$ und daher Galoissch über $\mathbb {Q}$. Jeder Selbstdipfeil überführt ein Element der Form $e^{2\pi ij/n}$ in ein ebensolches derselben Ordnung. Daher wird das Polynom $\Phi _{n}(x)$ von jedem Selbstdipfeil festgelassen und hat (dem Satz von Artin gemäß) Koeffizienten in $\mathbb {Q}$; es ist daher zumindest ein Vielfaches des $n$-ten Kreisteilungspolynoms.

Fortsetzung folgt. $\Box$