Randverhalten der Lösungen univariater Differentialgleichungen

Satz (Verhalten der Lösung am Rande des maximalen Existenzintervalles):

Es sei wieder eine Differentialgleichung gegeben, mit Startbedingung ; hierbei sei definiert auf einer randlosen Teilmenge von . Falls limestreu ist, so verlässt (mit die nach vorhergehendem Satz eindeutige Lösung der Differentialgleichung), wenn gegen einen der beiden Endpunkte des maximalen Existenzintervalles geht, jede in enthaltene überdeckungsendliche Menge .

Beweis: Wir kümmern uns ohne Beschränkung der Allgemeinheit nur um den rechten Endpunkt des Intervalles. Angenommen, würde für immer wieder mindestens teils in liegen. Dann gibt es eine Folge mit , sodass . Allerdings ist überdeckungsendlich, sodass eine Teilfolge extrahiert werden kann, die gegen einen Limes konvergiert.

Wir wählen nun einen kleinen vollberandeten Ball , der vollständig in liegt. Auf dieser überdeckungsendlichen Menge hat natürlich ein Maximum . Die Distanz, die von der Kurve in einem Zeitabschnitt zurücklegen kann, ist also (mit dem richtigen Betrag gemessen) beschränkt durch

,

wobei , die Grenzen des Zeitabschnittes seien. Für hinreichend klein ist dieser Wert beliebig klein, und daher wird der Ball nie wieder verlassen; es gilt also

.

Dann kann man aber dank des Satzes von Peano die Lösung von aus noch ein Stück weit fortsetzen, im Widerspruch dazu, dass ein Endpunkt des maximalen Existenzintervalles war.