Mathematik für Faule: Differentialrechnung/ Lokale Theorie multivariater Zuordnungen

Satz (Satz von der lokalen Umkehrzuordnung):

Es seien und es sei eine limestreu differenzierbare Zuordnung. Es sei ein Punkt, an welchem gilt (dh. die Jacobi-Tabelle ist invertierbar). Dann gibt es eine kleinere Umgebung von , sodass invertierbar ist; hierbei ist dann randlos und die lokale Inverse ist ebenfalls limestreu differenzierbar. Außerdem gilt die Formel

für alle .

Beweis: Es sei . Ferner sei ein Einheitsvektor. Der Kettenregel zufolge wäre eine sinnvolle Differenzialgleichung der Kurve gegeben durch

.

Dem Satz von Peano zufolge hat diese Gleichung für in einer kleinen Nullumgebung, die wegen der Limestreue von (und somit gemäß der Formel von Cramér der von ) von unabhängig gewählt werden kann, eine Lösung. Dadurch wird auf einem kleinen Ball um eine Zuordnung nach definiert. Dies ist schon die gesuchte Umkehr; wir definieren dann .

Die Kettenregel zeigt, dass die Differenzierte von konstant ist. Daraus folgt sofort, dass .

Es ist noch zu zeigen. Betrachtung der Zuordnungen für und nahe (insbesondere unter Berücksichtigung der Limestreue der Jacobitabelle) zeigt jedoch, dass in einer randlosen Teilmenge von mit injektiv ist. Daher ist die Rechtsinverse auch eine Linksinverse.

Schlussendlich können wir dieselben Betrachtungen auch auf in einer kleinen Umgebung von anwenden (man beachte, dass inverse Zuordnungen aus rein mengentheoretischen Gründen immer eindeutig sind) und erhalten, da ja die Richtungsdifferenzierten von per definitionem existieren, dass differenzierbar ist.