Existenz und Eindeutigkeit univariater Differentialgleichungen

Satz (Peano):

Es sei eine Differentialgleichung gegeben, mit Startbedingung ; hierbei sei definiert auf einer randlosen Teilmenge von . Ist limestreu, so gibt es ein Intervall , sodass die Differentialgleichung auf eine Lösung besitzt.

Beweis: Durch Zeitautonomisierung nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass nicht von abhängt. Nun liefert das Eulerverfahren mit Schrittweite angewandt auf die gegebene Steigungsgleichung eine Näherungslösung , die gegeben ist durch

bzw. die lineare Interpolation zwischen den Gitterpunkten. Durch Iterationsdeduktion folgt, dass von unabhängig auf ü-endlichen Mengen beschränkt ist, und nach Definition und Limestreue von gilt dies auch für die Steigung von . Daher ist der Satz von Arzelà–Ascoli anwendbar und wir erhalten eine Nullfolge , sodass mit gegen eine Abhängige konvergiert, von der wir nun zeigen werden, dass sie die gewünschte Gleichung löst.

Durch Iterationsdeduktion sehen wir, dass eine Integralgleichung der Form

erfüllt. Nun sei , wobei klein genug ist, sodass für beliebig kleine noch existiert (d. h. die Definitionsmenge von nicht verlässt). Des weiteren sei und so gewählt, dass . Dann gilt

wegen Heine–Cantor angewandt auf , und der Satz von der dominierten Konvergenz beweist, dass die gewünschte Integral- und somit die gewünschte Steigungsgleichung erfüllt.

Satz (Picard–Lindelöf):

Es sei wieder eine Differentialgleichung gegeben, mit Startbedingung ; hierbei sei limestreu und definiert auf einer randlosen Teilmenge von . Falls lokal um einen Punkt herum eine Lipschitz-Konstante in der zweiten Variablen besitzt, so gibt es ein kleines Intervall , sodass die Differentialgleichung auf eine eindeutige Lösung besitzt. Hat in jedem Punkt solche Lipschitz-Konstanten in der zweiten Variablen, so ist die Lösung global eindeutig.

Beweis: Die Existenz folgt aus dem vorhergehenden Satz von Peano. Seien nun zwei Lösungen der Differentialgleichung, und sei eine Lipschitz-Konstante um . Wenn hinreichend klein ist, kann eine Lösung wegen der von der Limestreue von implizierten lokalen Beschränktheit den Bereich der Gültigkeit der Lipschitz-Bedingung bis zum Zeitpunkt nicht verlassen. Dann gilt für wegen der Limestreue von und

,

woraus folgt

.

Wenn nahe genug an ist, ist , und es folgt für . Ähnlich argumentiert man ggf. auch für .

Dies beweist die lokale Aussage. Für die globale Aussage seien nun Lösungen gegeben, die maximal fortgesetzt sind. Wir wollen auf der Schnittmenge der Definitionsintervalle (die dann aber auch gleich sein müssen wg. der Möglichkeit des Zusammenhängens von Lösungen) beweisen. Es sei die Schnittmenge der Definitionsintervalle. Definiere die Menge

.

Aus der lokalen Aussage folgt, dass randlos ist, aber es ist wg. der Limestreue von und auch vollberandet, und da jedes Intervall zusammenhängend ist, gilt und .