Mathematik für Faule: Differentialrechnung/ Bewegung unter einer zentralen Kraft

Satz (Differenzialgleichung für den Abstand zum Zentrum):

Es sei $x:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ eine Zuordnung, die der Bewegung unter einer zentralen Kraft mit Zentrum $0$ entspricht. Dann verhält sich der Abstand $r(t)=\|x(t)\|$ zum Zentrum $0$ zur Zeit $t$ gemäß der potentiellen Energie

$V(r)=U(re_{1})+{\frac {M^{2}}{2r^{2}}}$,

wobei $M>0$ das Doppelte der sektoriellen Geschwindigkeit und $U$ die potentielle Energie der zentralen Kraft ist.

Beweis: Die Energieerhaltungsgleichung für $x$ lautet

${\frac {\|x'(t)\|^{2}}{2}}+U(x(t))=E$.

Aber wegen der Erhaltung des Drehmoments gilt

${\frac {\|x'(t)\|^{2}}{2}}={\frac {r'(t)^{2}}{2}}+{\frac {M}{2r(t)^{2}}}$.

Es ist zu zeigen, dass die von diesen beiden Gleichungen implizierte Differenzialgleichung $r$ eindeutig bestimmt, denn diese Gleichung wird von $r$ erfüllt, wenn es sich gemäß der gewünschten potentiellen Energie bewegt. Für $r>0$ ist dies aus der Differenzierbarkeit und Picard–Lindelöf ersichtlich, $r=0$ kann wegen $M>0$ nicht auftreten. $\Box$