Mathematik für Faule: Differentialrechnung/ Bewegung unter einer zentralen Kraft

Satz (Differenzialgleichung für den Abstand zum Zentrum):

Es sei eine Zuordnung, die der Bewegung unter einer zentralen Kraft mit Zentrum entspricht. Dann verhält sich der Abstand zum Zentrum zur Zeit gemäß der potentiellen Energie

,

wobei das Doppelte der sektoriellen Geschwindigkeit und die potentielle Energie der zentralen Kraft ist.

Beweis: Die Energieerhaltungsgleichung für lautet

.

Aber wegen der Erhaltung des Drehmoments gilt

.

Es ist zu zeigen, dass die von diesen beiden Gleichungen implizierte Differenzialgleichung eindeutig bestimmt, denn diese Gleichung wird von erfüllt, wenn es sich gemäß der gewünschten potentiellen Energie bewegt. Für ist dies aus der Differenzierbarkeit und Picard–Lindelöf ersichtlich, kann wegen nicht auftreten.