Mathematik für Faule: Differentialrechnung/ Abhängigkeit der Lösung von Startwerten und Parametern

Satz (Die Lösung einer univariaten Differenzialgleichung hängt limestreu vom Startwert ab):

Es sei eine Differenzialgleichung, die für alle Startwerte in einer randlosen Menge wobei eine eindeutige Lösung aufweist; hierbei sei außerdem limestreu. Dann hängt die Lösung der Gleichung mit als Startwert limestreu von ab.

Beweis: Wir verwenden folgende Notation: sei der Startwert der Lösung , und für sei die Lösung mit Startwert .

Sei nun fest. Angenommen, für . Dann gibt es eine Nullfolge , sodass für ein festes .

Falls nun und hinreichend klein sind (insb. auch für ), so gilt, da wegen des Satzes von Weierstraß auf ü-endlichen Mengen beschränkt ist, dass

für ein bestimmtes ; in der Tat, finde zunächst eine obere Schranke von auf einer Umgebung von und wähle dann hinreichend klein, sodass die Lösung wegen der Integralgleichung die gegebene Schranke nicht überschreiten kann. Ebenso kann natürlich , die Ableitung von , beschränkt werden. Wirft man also zu große weg, so ist der Satz von Arzèla–Ascoli anwendbar, und die konvergente Teilfolge konvergiert (wie man leicht prüft) zu einer Lösung der Differenzialgleichung mit Startwert , die wegen für alle aber nicht mit der Lösung identisch sein kann. Dies ist ein Widerspruch zur Eindeutigkeit.

Der allgemeine Satz folgt nun wie folgt: Wir überdecken das Intervall mit randlosen Mengen, innerhalb derer die gewünschte Abhängigkeit besteht. Da ü-endlich ist, und da die Verkettung limestreuer Zuordnungen limestreu ist, folgt die Behauptung.

Satz (Die Lösung einer univariaten Differenzialgleichung hängt ggf. differenzierbar von Startwerten ab):

Es sei eine Differenzialgleichung zu lösen für die Abhängige , die mit zu einem Anfangswertproblem wird. Des weiteren sei limestreu steigend. Dann ist die Lösung limestreu steigend abhängig vom Startwert .

Beweis: Durch Zeitautonomisierung nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass nicht von abhängt. Des weiteren können wir durch Nichtbeachtung aller anderen Koordinaten von der Lösung annehmen, dass eindimensional ist, und außerdem können wir durch Betrachtung der Richtungssteigungen in annehmen, dass auch eindimensional ist.

Nun gilt für den entsprechenden Differenzienquotienten

;

der Satz von Picard–Lindelöf impliziert ja schließlich, dass für nicht sein kann. Aus dieser Gleichung ersehen wir, dass der Differenzenquotient

für näherungsweise die Integralgleichung

mit Startwert

erfüllt, welche nach dem Hauptsatz auch als Steigungsgleichung geschrieben werden kann, die nach dem Satz von Picard–Lindelöf eine eindeutige Lösung besitzt. Allerdings gilt

wobei

;

die gewünschte Schranke sowie die Beschränktheit von folgen beide aus dem Mittelwertsatz. Daher impliziert der Satz von der dominierten Konvergenz die gewünschte Differenzierbarkeit.

Satz (Satz von Liouville über unabhängige Ströme):

Es sei die Zuordnung für die unabhängigen Ströme bezüglich einer zeitunabhängigen Differenzialgleichung, deren limestreue rechte Seite mit bezeichnet sein möge. Dann ist überall, wo es definiert ist, maßerhaltend genau dann, wenn divergenzfrei ist.

Beweis: Es sei die Jacobi-Tabelle von . Die Bedingung, dass maßerhaltend ist, ist gleichbedeutend mit . Für stimmt diese Gleichung, denn dort ist die Identität. Des weiteren ist diese Bedingung wegen der Limestreue äquivalent zu . Aber der Jacobi-Formel (unter Verwendung der Tatsache, dass invertierbar ist) gemäß gilt

;

die Kettenregel zeigt jedoch, dass

,

und die Spur ist invariant unter Redugenwechsel. Aber die Spur ist dann gerade die Divergenz von am gegebenen Punkt.