Mathematik für Faule: Differentialrechnung/Die Poisson-Gleichung

Beweis: Mit dem Satz von Gauß folgt

$f(x)=\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\|x-y\|\geq \epsilon }\nabla _{y}\cdot (\nabla _{x}G(x-y)f(y))dy=\int _{\mathbb {R} ^{n}}-\nabla _{x}G(x-y)\cdot \nabla _{y}f(y)dy$,

und jetzt können wir Leibniz anwenden, um die Ableitung aus dem Integral zu ziehen. Das resultierende Integral lässt sich unter Benutzung der Symmetrie der Faltung ebenso behandeln. $\Box$

Satz (Dirichlet):

Beweis: Dem Satz von Lax–Milgram zufolge existiert eine Lösung $u$ des zugehörigen bilinearen Problems. Es sei $x\in \Omega$ und $B_{r}(x)\subseteq \Omega$. Dem Randabhängigensatz zufolge ist $u|_{\partial B_{r}(0)}$ in $L^{2}(\partial B_{r}(0))$, und daher können wir die Poisson-Integralformel anwenden. Mit der Leibniz-Regel (deren Voraussetzungen wir z. B. mit der Ungleichung $|2xy|\leq x^{2}+y^{2}$ prüfen können) folgt, dass die (ja auch durch die Poisson-Integralformel gegebene) Lösung des Randwertproblems in $B_{r}(x)$ beliebig oft differenzierbar ist. Da $x\in \Omega$ beliebig war, folgt die Behauptung. $\Box$