Mathematik für Faule: Differentialräume/ Wichtige Beispiele

Beispiel (Grassmann–Räume):

Es sei $V$ ein Linearitätsraum der Dimension $n$ über dem Divoid $\mathbb {K}$. Dann ist

$G(V,k):=\{W\leq V|\dim W=k\}$

ein Differenzialraum der Dimension $k(n-k)$. Dies kann man wie folgt einsehen: Es sei $J\subseteq \{1,\ldots ,n\}$ mit $|J|=k$. Ferner sei $W_{J}:=\operatorname {span} \{e_{j}|j\in J\}$ und

$U_{J}:=\{W\leq G(V,K)|W\cap W_{J}^{\bot }=\{0\}\}$.

Zunächst bemerken wir, dass die Bedingung $W\cap W_{J}^{\bot }=\{0\}$ in der Definition genau bedeutet, dass die Zeilen mit Index in $J$ als Untertabelle der Tabelle mit den Spalten einer Redugenmenge von $W$ invertierbar ist. Da für $W\in G(V,k)$ jede solche Tabelle volle Zieldimension hat, überdecken die Mengen $U_{J}$ gemeinsam vollständig die Menge $G(V,K)$.

Behauptung: Jedes $W\in U_{J}$ kann dann mit einer nillinearen Zuordnung von $W_{J}$ nach $W_{J}^{\bot }$ identifiziert werden, und umgekehrt, d. h. $U_{J}$ kann mit $L(W_{J},W_{J}^{\bot })$ identifiziert werden. Beweis: Falls eine nillineare Zuordnung $T:W_{J}\to W_{J}^{\bot }$ gegeben ist, erhält man den zugehörigen Unterraum als $\operatorname {span} \{T(e_{j})|j\in J\}$, und für $W\in U_{J}$, der als $W=\operatorname {span} \{w_{j}|j\in J\}$ gegeben ist, gilt, dass die Zeilen mit Index in $J$ der Tabelle $(w_{j_{1}}\cdots w_{j_{k}})$ als Untertabelle invertierbar sind; wenn die Inverse nun $B$ heißt, ist die zu $W$ gehörige Zuordnung $T$ aus der Tabelle $(w_{j_{1}}\cdots w_{j_{k}})B:=(z_{j_{1}}\cdots z_{j_{k}})$ abzulesen; hierin ist die Untertabelle mit Zeilenindizes $J$ die Identität, und so kann man diese Untertabelle löschen, die so gekürzten Zeilen (nennen wir sie ${\tilde {z_{j}}}$) als Elemente von $W_{J}^{\bot }$ auffassen und $e_{j}$ für $j\in J$ auf ${\tilde {z_{j}}}$ senden. Diese spannen denselben Raum auf, da nach der Definition der Tabellenmultiplikation jede Spalte der neuen Tabelle eine Linearkombination der Spalten der alten Tabelle ist.

Über diese Identifikation geht $U_{J}$ über in $L(W_{J},W_{J}^{\bot })$, und letzterer Raum hat die Dimension $k(n-k)$, wie man aus der Tabellendarstellung einer nillinearen Zuordnung ersieht. Die Konstruktion dieser Identifikation, zusammen mit der Differenzierbarkeit des Tabelleninversen, beweist, dass wenn ein $W$ zeitgleich in zwei $U_{J}$'s (für verschiedene $J$'s) enthalten ist, die Transition von einem Koordinatensystem ins andere differenzierbar ist.