Mathematik für Faule: Differentialräume/ Tubulare Umgebungen

Definition (Tubulare Umgebung):

Es sei $M$ ein Differenzialraum mit einer Metrik $g$ und $N$ ein Unterraum. Eine tubulare Umgebung von $N$ ist eine (topologische) Umgebung $U$ von $N$ gegeben durch

$U:=\bigcup _{x\in N}\{\operatorname {geo} (v)|v\in N_{x}N\&\|v\|_{g}<f(x)\}$

für eine beliebig differenzierbare Zuordnung $f:N\to \mathbb {R} _{>0}$, welche die folgende Eigenschaft aufweist: Für jedes $x\in N$ und jede Geodäte durch $x$ besteht $[\gamma ]\cap U$ aus verschiedenen Abschnitten, deren jeder genau einen Punkt aus $N$ enthält.

Satz (Existenz tubularer Umgebungen):

Es sei $M$ ein Differenzialraum und $N$ ein Unterraum.

• Falls $M$ mit einer Metrik $g$ ausgestattet ist, so hat $N$ eine tubulare Umgebung.
• Im allgemeinen Falle ist $N$ eine Retraktion einer seiner Umgebungen.

Beweis: Habe zunächst $M$ eine Metrik. Für jeden Punkt $x\in N$ können wir eine gebügelte Karte von $N$ in einer Umgebung von $x$ wählen. Es sei $d$ die zur Metrik $g$ gehörige Distanz. Wir wählen $r_{x}>0$ so, dass $B_{2r_{x}}(x)$ im Definitionsbereich dieser Karte enthalten ist. Dann wählen wir eine Zerlegung der Eins, welche $(B_{r_{x}/2}(x))_{x}$ untergeordnet ist. Diese sei gegeben durch $(\phi _{\alpha })_{\alpha \in A}$. Dann ist die Zuordnung, welche die tubulare Umgebung (nennen wir sie $U$) definiert, gegeben durch

$x\mapsto \sum _{\alpha \in A}{\frac {r_{\alpha }}{2}}\phi _{\alpha }(x)$,

wobei $r_{\alpha }=r_{x_{\alpha }}$, wobei $\phi _{\alpha }$ nur in der Menge $B_{r_{x_{\alpha }/2}}(x)$ nicht null ist. In der Tat, sei $y\in N$. Dann ist eins der $r_{\alpha }$, bei denen $\phi _{\alpha }(y)\neq 0$ ist, maximal, und die Dreiecksungleichung garantiert sowohl, dass die Geodäte entlang $y$ der Länge $r_{\alpha }/2$ sich höchstens $r_{\alpha }$ vom Punkt $x_{\alpha }$ entfernt, der das Zentrum des Balles bildet, auf welchem $\phi _{\alpha }$ ungleich null ist, als auch (infolgedessen), dass die von zwei verschiedenen Punkten aus $N$ ausgehenden Abschnitte sich nicht schneiden.

Im allgemeinen Falle statten wir $M$ mit einer beliebigen Metrik aus, und bemerken dann, dass wir eine tubulare Umgebung $U$ von $N$ entlang der $N$ schneidenden Geodäten zusammenziehen können. $\Box$