Mathematik für Faule: Differentialräume/ Orientierungen, Integrale und der Satz von Stokes/

Satz (Vorzeichen des Randes):

Beweis: Es sei $p\in \partial M$, und es seien $x=\varphi (p)$ und $y=\psi (p)$ für zwei Karten $\varphi ,\psi$ um $x$. Wir möchten beweisen, dass $D\psi \circ \varphi ^{-1}(x)$ das Vorzeichen erhält. Hierfür wählen wir eine Redugenmenge $b_{1},\ldots ,b_{n-1}$ von $T_{x}\partial \{x_{n}\geq 0\}$, die wir durch $b_{n}$ zu einer Redugenmenge von $T_{x}\mathbb {R} ^{n}$ erweitern. Wegen des Randlosigkeitssatzes von Brauer zeigt $D\psi \circ \varphi ^{-1}(b_{n})$ in Richtung des Inneren von $M$. Aber wir können nun $D\psi \circ \varphi ^{-1}(b_{n})$ limestreu (z. B. geradlinig) auf $b_{n}$ (welches ebenfalls nach innen zeigt) verschieben. Das Vorzeichen der Determinante von $D\psi \circ \varphi ^{-1}(b_{n})$ ändert sich dabei nicht, da die Ebene $\{x_{n}=0\}$ nicht geschnitten wird. Die daraus resultierende neue Abbildung lässt dann $b_{n}$ fest und zerfällt in das kartesische Produkt der Identität und der Einschränkung von $D\psi \circ \varphi ^{-1}(b_{n})$ auf $T_{x}\partial \{x_{n}\geq 0\}$. Aber die Determinante ist über das kartesische Produkt multiplikativ. $\Box$