Mathematik für Faule: Differentialräume/Nillinearfelder

Satz (Rücktransport-Formel):

Es sei $f:M\to N$ eine Abhängige.

Beweis: Es gilt ja $df_{j}=(\partial f_{j})^{*}$. Wir unterscheiden zwei Fälle: Ist $\det(Df(x))=0$, so sind die $\partial f_{j}$, also auch die $df_{j}$ linear verwandt, und beide Seiten sind null. Andernfalls stellen die $df_{j}$ eine Redugenmenge von $T_{x}^{*}M$ dar, und da die Definition des Dachprodukts von der Redugenmenge unabhängig ist, gilt

$df_{1}\wedge \cdots \wedge df_{n}\left(\partial f_{1},\ldots ,\partial f_{n}\right)=1$,

wohingegen

$dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n}\left(\partial f_{1},\ldots ,\partial f_{n}\right)=\det(Df(x))$,

was die gewünschte Proportionalitätskonstante liefert. $\Box$