Mathematik: Zahlentheorie: Teileranzahl

In der Zahlentheorie definiert man mit $\tau (n)$ die Teileranzahlfunktion, die - wie der Name schon sagt - mit der Anzahl der Teiler von $n$ äquivalent ist. Beispielsweise ist $\tau (6)=4$, da 6 durch 1, 2, 3 und 6 Teilbar ist. Allgemein definiert man also die Teileranzahlfunktion wie folgt:

$\tau (n)=\#\{x\in \mathbb {N} |~x\mid n\}$

Da eine Primzahl nur triviale Teiler hat (die Eins und sich selbst), gilt für jede Primzahl $p$ folgende Eigenschaft:

$\tau (p)=2$

Die Teileranzahlfunktion ist zudem ein Spezialfall der Teilersummenfunktion:

$\tau (n)=\sigma _{0}(n)=\sum _{d\mid n}d^{0}$

Bestimmung durch Primfaktorzerlegung

Tatsächlich kann man die Teileranzahl nur mithilfe der Primfaktorzerlegung einer jeweiligen Zahl ausrechnen. Betrachtet man eine beliebige Zahl (z.B. 12), dann hat diese Zahl folgende Teiler:

$1,2,3,4,6,12$

Nun schreibt man jeweils die kanonischen Primfaktorzerlegungen aller Teiler auf:

$1=(leeresProdukt),2^{1},3^{1},2^{2},2^{1}\cdot 3^{1},2^{2}\cdot 3^{1}$

Betrachtet man nun all diese Zerlegungen genauer, so ist ersichtlich, dass sich jeder Teiler von 12 als eine Kombination von Primfaktoren aus 12 darstellen lässt. Hier ist dies noch einmal verdeutlicht:

$2\cdot 2\cdot 3=1$

$(2)\cdot 2\cdot 3=2$

$(2)\cdot (2)\cdot 3=4$

$2\cdot 2\cdot (3)=3$

$(2)\cdot 2\cdot (3)=6$

$(2)\cdot (2)\cdot (3)=12$

Alle Faktoren, die mit Klammern hervorgehoben sind, wurden miteinander multipliziert, um einen Teiler von 12 zu ergeben. Zählt man also alle möglichen Produkte aus den Primfaktoren einer Zahl, so erhält man die Anzahl der Teiler dieser Zahl. Dies kommt daher, dass jeder Teiler $d$ einer Zahl $n$ in Primfaktoren zerlegbar ist, die wiederum auch Teiler von $n$ sind, wodurch $d$ stets ein Produkt aus Primfaktoren von $n$ ist. Da die Primfaktorzerlegung nach dem Fundamentalsatz der Arithmetik eindeutig ist, erhält man durch alle möglichen Produkte aus der Primfaktorzerlegung von $n$ auch alle Teiler. Nun kann man dies verallgemeinern, um eine Formel herzuleiten: Ist ein Primteiler $p$ mit $p^{x}$ ein Teiler von $n$, so kann man $x+1$ verschiedene Produkte bilden, da ein leeres Produkt ($p^{0}$), ein einfaches Produkt ($p^{1}$) und alle weiteren Produkte ($p^{2},p^{3},\ldots ,p^{x}$) möglich sind. Sei $x$ der größte Exponent, damit $p^{x}$ weiterhin ein Teiler von $n$ ist, so ist $x$ äquivalent zur p-adischen Exponentenbewertung $v_{p}(n)$. Kombiniert man alle weiteren Möglichkeiten anderer Primteiler $\neq p$, so erhält man folgende Eigenschaft der Teileranzahlfunktion:

$\tau (n)=({v_{p_{1}}(n)}+1)\cdot ({v_{p_{2}}(n)}+1)\cdot \ldots =\prod _{p\in \mathbb {P} }v_{p}(n)+1$

Hierbei ist $v_{p}(n)$ der größt mögliche Exponent $k\in \mathbb {N}$, damit weiterhin $p^{k}\mid n$ gilt.

Somit ist also die Teileranzahl von 12 gegeben mit $\tau (12)=(v_{2}(12)+1)\cdot (v_{3}(12)+1)=(2+1)\cdot (1+1)=6$.

Weitere Beispiele

• Aufgabe: Bestimmen sie die Teileranzahl von 10000, 27, 35 und 105.
• Lösung:

$10000=10^{4}=2^{4}\cdot 5^{4}\Longrightarrow \tau (10\,000)=(4+1)^{2}=25$

$27=3^{3}\Longrightarrow \tau (27)=(3+1)=4$

$35=5\cdot 7\Longrightarrow \tau (35)=(1+1)^{2}=4$

$105=5\cdot 21=5\cdot 3\cdot 7\Longrightarrow \tau (105)=(1+1)^{3}=8$

Bei Produkten

Da die p-adische Exponentenbewertung eine vollständig additive Funktion ist (siehe Beweis), kann man auf folgende Eigenschaft der Teileranzahlfunktion schließen:

$\tau (a\cdot b)=\prod _{p\in \mathbb {P} }v_{p}(a\cdot b)+1=\prod _{p\in \mathbb {P} }v_{p}(a)+v_{p}(b)+1$

Quadratzahlen

Das Besondere an der Teileranzahl von Quadratzahlen ist, dass sie immer ungerade ist, während für alle anderen Zahlen $>1$ immer eine gerade Teileranzahl existiert. Diese Besonderheit kann man wie folgt begründen: Betrachtet man einen Teiler $d$ von $n$, so existiert auch immer ein weiterer Teiler ${\frac {n}{d}}$, da stets $n$ ein $x$-Faches von $d$ ist und ein ${\frac {n}{d}}$-Faches von $x$. Also existiert zu jedem Teiler $d$ ein weiter Teiler ${\frac {n}{d}}$, sofern beide nicht gleich sind. Dadurch ist die Teileranzahl schon ein mal für jedes $n\geq 1$ gerade. Da nun eine Quadratzahl auch einen Teiler $m$ besitzt, dessen Quadrat wieder die Quadratzahl $n$ ergibt, ist ${\frac {n}{m}}={\frac {m^{2}}{m}}=m$. Dadurch wird mit $m$ nur ein Teiler gezählt, anstatt zwei wie bei allen anderen Teilern, wodurch Quadratzahlen immer eine ungerade Teileranzahl haben.

Multiplikativität

Interessanterweise zeigt sich, dass für teilerfremde Zahlen $a$ und $b$ immer $\tau (ab)=\tau (a)\tau (b)$ gilt. Man bezeichnet deshalb die Teileranzahlfunktion auch als multiplikativ. Allgemein ist eine zahlentheoretische Funktion $f(n)$ multiplikativ, sobald folgendes gilt:

$(x,y)\in \mathbb {N} ^{2}$; $x$ und $y$ sind relativ prim; $f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)$

Nun kann man die Multiplikativität der Teileranzahlfunktion direkt beweisen:

$\tau (a\cdot b)=\tau (a)\cdot \tau (b)$

$\prod _{p\in \mathbb {P} }v_{p}(a)+v_{p}(b)+1=\left(\prod _{p\in \mathbb {P} }v_{p}(a)+1\right)\cdot \left(\prod _{p\in \mathbb {P} }v_{p}(b)+1\right)$

$\prod _{p\in \mathbb {P} }v_{p}(a)+v_{p}(b)+1=\prod _{p\in \mathbb {P} }(v_{p}(a)+1)\cdot (v_{p}(b)+1)$

$\prod _{p\in \mathbb {P} }v_{p}(a)+v_{p}(b)+1=\prod _{p\in \mathbb {P} }{\underset {=0}{\underbrace {v_{p}(a)v_{p}(b)} }}+v_{p}(a)+v_{p}(b)+1$

Der Ausdruck $v_{p}(a)v_{p}(b)$ ist deshalb immer gleich Null, weil $a$ und $b$ teilerfremd sind und somit nie ein Primteiler in beiden Zahlen enthalten ist. D.h es ist immer entweder $v_{p}(a)=0$ oder $v_{p}(b)=0$. Somit ist bewiesen, dass stets $\tau (ab)=\tau (a)\tau (b)$ für alle teilerfremden Zahlen $a$ und $b$ gilt.