Mathematik: Zahlentheorie: Mersennesche und Fermatsche Primzahlen

VorbemerkungBearbeiten

Lemma: Es gilt:  

Beweis:  

Mersennesche PrimzahlenBearbeiten

Wir fragen, welche Primzahlen der Form   es gibt, wobei n eine natürliche Zahl ist.

Satz: Ist   eine Primzahl, so ist auch   eine Primzahl.

Beweis: Sei eine Darstellung   mit natürlichen Zahlen a,b gegeben. Wir setzen im Lemma  ,   und   ein und erhalten, dass  . Da   als prim vorausgesetzt wurde, folgt   oder  , also a=1 oder a=n.

Primzahlen der Form   heißen Mersennesche Primzahlen.


Fermatsche PrimzahlenBearbeiten

Wir fragen nun nach Primzahlen der Form  .

Satz: Ist   eine Primzahl, so ist   für eine nicht-negative ganze Zahl k.

Beweis: Wir zeigen, dass n keinen ungeraden Teiler größer als 1 hat. Daraus folgt dann, dass n keinen ungeraden Primfaktor enthält, also eine Potenz von 2 ist. Angenommen wir haben   mit natürlichen Zahlen a,b. Wir setzen im Lemma  ,   und   ein und erhalten, dass  . Da   als prim vorausgesetzt wurde, folgt   - was nicht möglich ist - oder  , also b=n und 2a+1=1.

Primzahlen der Form   heißen Fermatsche Primzahlen.