Mathematik: Topologie: Topologisches Produkt

Ein intuitiver Weg, eine Topologie auf dem Produkt beliebig vieler topologischer Räume zu definieren, ist der folgende: Bilde alle Produkte von Mengen, die in den einzelnen topologischen Räumen offen sind. Diese bilden eine Basis auf dem Produktraum und erzeugen daher eine Topologie. Diese wird üblicherweise Boxtopologie genannt. Für die Produkttopologie wählt man jedoch einen anderen Zugang, der schönere Eigenschaften des Produktes liefert; unter anderem entspricht diese Konstruktion dem kategoriellen Produkt in der Kategorie der topologischen Räume. Hier betrachtet man nur Produkte offener Mengen, bei denen alle bis auf endlich viele trivial, d.h. der ganze Raum sind.

Definition: Produkttopologie

Seien $(X_{i},{\mathcal {O}}_{i})$ für $i\in I$ topologische Räume. Sei ${\mathcal {B}}$ definiert durch $\{\prod _{i\in I}U_{i}\ |\ U_{i}\in {\mathcal {O}}_{i},\exists F\subseteq I:|F|<\infty \wedge \forall i\notin F:U_{i}=X_{i}\}$. Dann ist ${\mathcal {B}}$ die Basis einer Topologie auf $\prod _{i\in I}X_{i}$. Diese Topologie heißt Produkttopologie.

Für endliche Produkte stimmt diese Topologie mit der Boxtopologie überein, für unendliche Produkte kann sie jedoch gröber sein, d.h. weniger offene Mengen enthalten, da man ja eine kleinere Basis betrachtet.

Eine wichtige Eigenschaft der Produkttopologie ist die Stetigkeit aller Projektionen $\pi _{k}:\prod _{i\in I}X_{i}\rightarrow X_{k}$auf die einzelnen Faktoren. Eine genauere Aussage ist die folgende:

Proposition: Charakterisierung der Produkttopologie

Die Produkttopologie ist die gröbste Topologie auf dem mengentheoretischen Produkt, bezüglich der alle Projektionen stetig sind.

Beweis

Topologisches Produkt als Kategorielles Produkt

Die Produkttopologie macht das mengentheoretische Produkt zum kategoriellen Produkt in der Kategorie der topologischen Räume mit stetigen Abbildungen, da es die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Proposition: Topologisches Produkt in der Kategorie der topologischen Räume

Sei $(X_{i},{\mathcal {O}}_{i})$ eine Familie topologischer Räume. Sei Y ein weiterer topologischer Raum und $(f_{i}:Y\rightarrow X_{i})_{i\in I}$ eine Familie stetiger Funktionen. Dann existiert genau eine Abbildung $\langle f_{i}\rangle _{i\in I}:Y\rightarrow \prod _{i\in I}X_{i}$, die bezüglich der Produkttopologie stetig ist und die die Relationen $\pi _{i}\circ \langle f_{i}\rangle _{i\in I}=f_{i}$ erfüllt.

Beweis

Diese Aussage führt sofort zu folgender Aussage:

Proposition: Stetige Funktionen in Produkträume

Sei $(X_{i},{\mathcal {O}}_{i})$ eine Familie topologischer Räume. Sei Y ein weiterer topologischer Raum und $f:Y\rightarrow \prod _{i\in I}X_{i}$ eine Funktion. Dann ist f genau dann stetig, wenn die Abbildungen $\pi _{i}\circ f$ für alle $i\in I$ stetig sind.

Beweis

Aus der Kategorientheorie wissen wir, dass das Produkt (bis auf Isomorphie) der einzige topologische Raum ist, der diese Eigenschaft erfüllt. Dies ist der Grund, warum man diese Topologie der Boxtopologie auf dem Produkt vorzieht.