Mathematik: Lineare Algebra: Vektorräume: Der Dualraum

DualraumBearbeiten

Der Dualraum gehört zu den fortgeschrittenen Themen der linearen Algebra. Es ist daher empfehlenswert, diesen Abschnitt beim ersten Durchlesen des Buches zu überspringen und später nochmal hierher zurück zu kehren.

Sei   im Folgenden ein Körper,   und    -Vektorräume. Die Menge der Homomorphismen von   nach   bezeichnen wir mit   bzw. kurz mit   wenn klar ist, welcher Körper gemeint ist. Mit der Addition und Skalarmultiplikation definiert durch

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ist   wieder ein Vektorraum. Damit können wir den Dualraum definieren.

Definition
Sei   ein  -Vektorraum. Dann ist der Dualraum   definiert als  .
Bemerkung
  • Eine andere Bezeichnung für den Vektorraum ist auch  .
  • Man kann den Dualraum zwar sowohl für endlich als auch für unendlich dimensionale Vektorräume definieren, wir konzentrieren uns im folgenden aber auf den endlich dimensionalen Fall. Dualräume für unendlich dimensionale Vektorräume spielen in der Funktionalanalysis eine wichtige Rolle. Es braucht jedoch zusätzliche Voraussetzungen um eine anständige Theorie entwickeln zu können.
Satz
Sei   ein  -Vektorraum der Dimension  , dann ist   isomorph zu seinem Dualraum  
Beweis
Wir wählen uns eine Basis   von   und definieren dazu
 
Dies ist ausreichend um eine lineare Abbildung zu definieren. Ist nämlich   so lässt sich   in der Basis entwickeln durch   mit  . Aus der Forderung nach Linearität von   folgt
 
Man rechnet leicht nach, dass   tatsächlich linear sind.
Wir wollen nun zeigen, dass diese Vektoren eine Basis von   bilden. Wir beginnen mit der linearen Unabhängigkeit. Sei dazu  . Wir betrachten die Gleichung
 
Beachte: Wir behaupten, dass die Summe auf der linken Seite die Nullabbildung ist. Das heißt, dass die linke Seite für jedes  , das wir einsetzen, Null ergibt.
Wir setzen nun also nacheinander alle Basisvektoren   in die Gleichung ein. Wegen der Voraussetzung an   bleibt von der Gleichung nur   übrig. Die Vektoren sind also linear Unabhängig.
Um zu zeigen, dass die   den Dualraum erzeugen geben wir uns eine beliebiges   vor. Wir wollen zeigen, dass sich dieses mit Hilfe unserer Vektoren darstellen lässt. Dazu verwenden wir die Darstellung von   von oben:
 
Wir können für jedes   den Ausdruck   hinzufügen. Dieser ist nach Voraussetzung an   gleich Null. Damit können wir   wieder zusammenfügen:
 
Das bedeutet also  .
Durch   ist eine Abbildung definiert, die die Basis   auf eine Basis   abbildet. Die Abbildung ist also ein Isomorphismus.

Achtung: Der im vorherigen Beweis definierte Isomorphismus ist abhängig von der Wahl der Basis!

Beispiel: Wir wählen als Vektorraum   und als Basis die Standardbasis  . Für die dazugehörigen Homomorphismen gilt:

   
   
   .
Ersetzen wir   durch   so bleiben die ersten zwei Zeile gleich, jedoch ändert sich die letzte:
   
   
   

Die zu einem Vektor   gehörende Abbildung nach obigen Beweis wird auch die duale Abbildung zu   genannt. Wir bezeichnen diese im folgenden mit  .


Haben wir zusätzlich ein Skalarprodukt zur verfügung, so können wir einen Isomorphismus angeben, der unabhängig von der Basis des Vektorraums ist

Satz

Ist   ein reeller Vektorraum mit Skalarprodukt   so wird durch

 

ein Isomorphismus zwischen   und   definiert.

Beweis
Wegen der Bilinearität des Skalarprodukts ist für festes   die Abbildung  . Wir wählen nun eine Orthonormalbasis   von  . Die Abbildungen   entsprechen gerade den dualen Abbildungen   und bilden damit nach obigen Satz eine Basis von  . Hieraus folgt die Behauptung.

Bemerkung: Für unendlich dimensionale Hilberträume gibt es mit dem Satz von Fischer-Riesz eine analoge Aussage. Hierfür benötigt man aber noch, dass der Vektorraum vollständig ist!