Mathematik: Lineare Algebra: Struktur von Vektorräumen: Basen

Allgemeine Definition

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Sei   ein Vektorraum über dem Grundkörper  . Eine Teilmenge   heißt Basis des Vektorraums  , falls   die folgenden Eigenschaften besitzt:

1.   ist linear unabhängig, d.h. für jeweils endlich viele Elemente   und   gilt die Äquivalenz:   für alle  

2. Ist  , dann ist   linear abhängig, d.h. es existieren   sowie Koeffizienten  , die nicht alle den Wert   haben dürfen, mit  .

Satz: Jeder  -Vektorraum   besitzt eine Basis!

Beweis (Mit dem Lemma von Kuratowski-Zorn):

Wir betrachten dazu die Menge   der linear unabhängigen Teilmengen   mit der Halbordnung  . Als Teilmenge der Potenzmenge   ist   eine Menge. Da die leere Menge linear unabhängig ist, existiert für jeden Vektorraum   mindestens ein solches  , d.h.  .

Ist nun   eine Kette in   bezüglich  , setzen wir   und erhalten wiederum eine linear unabhängige Teilmenge von  , da für endlich viele   gilt:

Zu jedem Index   existiert ein   mit   und daher  . Da aber   eine Kette (total geordnet) ist, existiert dann ein Index   mit  , also   und damit ist   linear unabhängig.

Damit ist gezeigt, daß   und offensichtlich ist   für alle  , also ist   eine obere Schranke für  . Nach dem erwähnten Lemma von Zorn bzw. Kuratowski folgt die Existenz eines maximalen Elementes  , d.h. einer linear unabhängigen Teilmenge von  , die keine Erweiterung im Sinne von 2. möglich ist. Damit ist   eine Basis von  . Q.E.D.