Mathematik: Lineare Algebra: Eigenwerte und Eigenvektoren

Eigenwerte und Eigenvektoren sind ein fundamentales Werkzeug zur Untersuchung von Matrizen.

MotivationBearbeiten

Betrachten wir folgendes Beispiel:

Sei   und   ,  

Was passiert, wenn wir   und   betrachten?

 

 

Bemerkenswert ist, dass

 

  .

Wenn wir also die Matrix   mit dem Vektor   multiplizieren, erhalten wir keinen anderen, sondern denselben Vektor multipliziert mit einer Konstante (gestreckt). Für   gilt das Gleiche. Wir nennen 1 und -2 die Eigenwerte der Matrix  ,   und   heißen Eigenvektoren der Matrix  .

DefinitionenBearbeiten

Dieses Konzept verallgemeinern wir nun. Das Produkt einer Matrix mit dem Vektor soll dasselbe ergeben wie die Multiplikation von einem Skalar mit dem Vektor. Wenn wir eine  -Matrix   haben, suchen wir Eigenvektoren   und Eigenwerte  , die folgende Gleichung erfüllen:  

Wie funktioniert dies?

Wir formen die Gleichung um

 

 

Hierbei muss der Skalar   mit der Einheitsmatrix   multipliziert werden.   ist eine Matrix. Wir setzen   und lösen die Gleichung  . Die Lösung ist der Kern von  . Die Eigenvektoren sind also der Kern von  , wobei   ein Eigenwert ist. Wie finden wir nun die Eigenwerte?

Es gilt:   hat eine nicht-triviale Lösung, falls  . Um also die Eigenwerte zu finden setzen wir   und lösen nach   auf. Wir erhalten ein Polynom, das charakteristische Polynom.

Beachte, dass die Null als Eigenvektor ausgeschlossen ist, weil sie trivialerweise eine Lösung der Gleichung   ist. Außerdem erhalten wir dadurch unendliche viele Eigenwerte, weil jeder Wert die Gleichung   erfüllt. Wenn wir einen Eigenwert   mit zugehörigem Eigenvektor   gefunden haben, dann ist jedes Vielfache von   ebenfalls ein Eigenvektor für diesen Eigenwert. Um dies zu sehen, betrachten wir folgendes: Falls   gilt, dann gilt:

 .

Beachte: Ein Eigenwert hat unendlich viele zugehörige Eigenvektoren, während ein Eigenvektor immer nur zu einem Eigenwert gehören kann.

Das Finden von Eigenwerten und EigenvektorenBearbeiten

Hier sind ein paar Beispiele wie man mit Hilfe unserer Definitionen Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmt:

Sei  

Zuerst bestimmen wir die Eigenwerte

 

Die Lösungen dieser Gleichung sind 3 und 2 und dies sind auch unsere Eigenwerte. Nun suchen wir die zugehörigen Eigenvektoren. Betrachten wir also zunächst den Eigenwert  . Um unseren ersten Eigenvektor zu finden berechnen wir:

 

Beobachte nun:

 

Anders geschrieben, die Menge der Eigenvektoren der Matrix   enthält  . In der Ebene ist dies die Gerade durch den Ursprung mit der Steigung -1. Wie schon beschrieben gibt es für jeden Eigenwert unendlich viele Eigenvektoren. Wir dürfen uns einen davon auswählen. In diesem Fall nehmen wir den Vektor  . Betrachten wir nun den Eigenwert   und gehen analog vor:

 

Also erhalten wir als zweiten Eigenvektor  

Unsere Eigenwerte sind   mit den Eigenvektoren  . Dies kann man überprüfen, indem man die gegebene Matrix mit den Vektoren multipliziert. Also:

  und  

AufgabenBearbeiten

Finde die Eigenwerte und Eigenvektoren zu den folgenden Matrizen. c

  1.  
  2.  
  3.