Mathematik: Diskrete Mathematik: Mengenlehre

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Definition

Eine Menge ist eine Sammlung von verschiedenen Dingen, wie z.B.

Zahlen
Buchstaben
Farbe
Figuren
Namen

Mengen werden mit Großbuchstaben benannt.

Darstellungen

Es gibt verschiedene Möglichkeiten eine Menge darzustellen:

graphisch mit Hilfe von Mengenbildern

in aufzählender Form:

$B=\{1;2;3;4;5\}$
$\mathbb {N} _{0}=\{0;1;2;3;4;5;6;...\}$

in beschreibender Form:

$P=\{x\mid x\ \mathrm {ist\ Primzahl} \}$
$C=\{x\in N\mid x<5\}$

Elemente

Die in der Menge beinhalteten Objekte nennt man Elemente.
$x\in A$ (lies "x ist Element von A") bedeutet, dass x ein Element der Menge A ist, also in dieser Menge liegt.

$x\notin A$ (lies "x ist nicht Element von A") bedeutet, dass x kein Element der Menge A ist, also nicht in A liegt.

Beispiel:
$A=\{1;2;3\}\Rightarrow$ $1\in A,2\in A,5\notin A$

Besitzt eine Menge keine Elemente, so ist sie die leere Menge.
$\{\}=\phi$
Eine Menge kann jedoch eine leere Menge enthalten !
$M=\{\phi \}$

Gleichheit

Zwei Mengen sind gleich, wenn sie genau die gleichen Elemente beinhalten. Beim Aufzählen von Mengen zählt weder die Reihenfolge der einzelnen Elemente, noch die Anzahl der gleichen Elemente.
$A=\{1;2;3\}$ $=\{3;1;2;2\}$ $=B$

Mächtigkeit

Die Mächtigkeit einer endlichen Menge ist die Anzahl ihrer Elemente. Beispiele:

$|\{1;2;3\}|=3$

$|\{\}|=0$

Bei unendlichen Mengen hat wird der Anzahlbegriff problematisch; die Mächtigkeit wird durch ein Symbol ausgedrückt, das ausdrücklich keine Zahl im arithmetischen Sinne ist. Für die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen schreibt man

$|\mathbb {N} |=\aleph _{0}$

(gesprochen aleph null).

Aus Mengen gebildete Mengen

Die Teilmenge: Die Teilmenge ist eine Menge die in der Ausgangsmenge enthalten ist, und so alle Elemente dieser beinhaltet. $B\subseteq A\Leftrightarrow (x\in B\Rightarrow x\in A)$
Datei:Teilmenge.png
Die Potenzmengen: Die Potenzmenge beinhaltet alle möglichen Teilmengen.

$P(A)=\{\phi ;\{1\};\{2\};\{3\};\{1;2\};\{1;3\};\{2;3\};\{1;2;3\}\}$
Die Mächtigkeit der Potenzmenge beträgt immer die Potenz von 2 mit der Mächtigkeit der Ausgangsmenge: $|P(A)|=2^{|A|}$
Datei:Menge aller teilmengen.png