Mathematik: Analysis: Stetigkeit: Folgenstetigkeit

2. FolgenstetigkeitBearbeiten

Unter Verzicht auf solche Funktionen, deren Definitionsmenge isolierte Punkte enthält oder nur aus isolierten Punkten besteht, kann man die Stetigkeit auch noch anders fassen.


Satz - Folgenkriterium für (lokale) Stetigkeit
Eine Funktion   ist stetig bei   genau dann, wenn Folgendes gilt:
 , außerdem   Häufungspunkt von  , und für jede Folge  , deren Glieder in   liegen und deren Grenzwert   ist, existiert   und ist gleich  .


Verkürzt formuliert besagt das Folgenkriterium, dass im Stetigkeitsfall Limesbildung und Funktionswertberechnung vertauschbar sind:

 


Falls es sich um eine Funktion   handelt, so ist in der Definition der (lokalen) Stetigkeit anstatt des Betrages die jeweils für   bzw.   zugrunde gelegte Norm zu verwenden.

Oft ist es so, dass für einen lokalen Stetigkeitsnachweis das  - -Kriterium geeignet ist, für einen Nachweis der Unstetigkeit an einer Stelle jedoch das Folgenkriterium bequemer zu handhaben ist.