Mathematik: Analysis: Konvergenz von Reihen

Einleitung

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Die Folge der Partialsummen der Reihe sei  . Die Reihe heißt genau dann konvergent, wenn  .

Der Grenzwert von   wird als Summe oder Wert der Reihe bezeichnet:  .

Nicht konvergente Reihen heißen divergent.

Cauchykriterium

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Eine Reihe   konvergiert dann, wenn die Folge der Partialsummen   eine Cauchy-Folge ist.

Eine Reihe   konvergiert absolut, wenn   konvergiert.

Beispiele

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Majorantenkriterium

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Gegeben sei die Reihe  . Die Reihe   heißt Majorantenreihe zu  , falls  . Das heißt, alle außer endlich vielen Elementen   müssen kleineren Betrags als   sein. Nämlich jene für die gilt  .

Wenn eine Majorantenreihe   konvergiert, so ist auch die Reihe   konvergent.

Beispiele

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erstes Beispiel

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  ist eine Majorante, von der wir wissen, dass sie konvergiert. Also konvergiert auch  .

Quotientenkriterium

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Eine Reihe   konvergiert absolut, wenn  , so dass   gilt:  

Beispiele

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Wurzelkriterium

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Eine Reihe   konvergiert absolut, wenn   mit  

Beispiele

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Leibnizkriterium

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Reihen   mit   heißen alternierende Reihen. Sie sind dadurch gekennzeichnet, dass die Summanden abwechselnd positiv und negativ sind.

Sei   eine monoton fallende Folge nicht-negativer Zahlen mit  .

Dann konvergiert die Reihe.

Beispiele

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  (Reihe alterniert)

 , also   (Leibnizkriterium erfüllt, Reihe konvergiert)

Integraltest

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Sei  , wobei   stetig, monoton abnehmend. Dann gilt:

 

Beispiel

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  konvergiert, da   monoton fallend ist und