Mathematik: Analysis: Konvergenz von Reihen

EinleitungBearbeiten

Die Folge der Partialsummen der Reihe sei  . Die Reihe heißt genau dann konvergent, wenn  .

Der Grenzwert von   wird als Summe oder Wert der Reihe bezeichnet:  .

Nicht konvergente Reihen heißen divergent.

CauchykriteriumBearbeiten

Eine Reihe   konvergiert dann, wenn die Folge der Partialsummen   eine Cauchy-Folge ist.

Eine Reihe   konvergiert absolut, wenn   konvergiert.

BeispieleBearbeiten

MajorantenkriteriumBearbeiten

Gegeben sei die Reihe  . Die Reihe   heißt Majorantenreihe zu  , falls  . Das heißt, alle außer endlich vielen Elementen   müssen kleineren Betrags als   sein. Nämlich jene für die gilt  .

Wenn eine Majorantenreihe   konvergiert, so ist auch die Reihe   konvergent.

BeispieleBearbeiten

erstes BeispielBearbeiten

 

  ist eine Majorante, von der wir wissen, dass sie konvergiert. Also konvergiert auch  .

QuotientenkriteriumBearbeiten

Eine Reihe   konvergiert absolut, wenn  , so dass   gilt:  

BeispieleBearbeiten

WurzelkriteriumBearbeiten

Eine Reihe   konvergiert absolut, wenn   mit  

BeispieleBearbeiten

LeibnizkriteriumBearbeiten

Reihen   mit   heißen alternierende Reihen. Sie sind dadurch gekennzeichnet, dass die Summanden abwechselnd positiv und negativ sind.

Sei   eine monoton fallende Folge nicht-negativer Zahlen mit  .

Dann konvergiert die Reihe.

BeispieleBearbeiten

  (Reihe alterniert)

 , also   (Leibnizkriterium erfüllt, Reihe konvergiert)

IntegraltestBearbeiten

Sei  , wobei   stetig, monoton abnehmend. Dann gilt:

 

BeispielBearbeiten

  konvergiert, da   monoton fallend ist und