Mathematik: Analysis: Konvergenz von Reihen
Einleitung
BearbeitenDie Folge der Partialsummen der Reihe sei . Die Reihe heißt genau dann konvergent, wenn .
Der Grenzwert von wird als Summe oder Wert der Reihe bezeichnet: .
Nicht konvergente Reihen heißen divergent.
Cauchykriterium
BearbeitenEine Reihe konvergiert dann, wenn die Folge der Partialsummen eine Cauchy-Folge ist.
Eine Reihe konvergiert absolut, wenn konvergiert.
Beispiele
BearbeitenMajorantenkriterium
BearbeitenGegeben sei die Reihe . Die Reihe heißt Majorantenreihe zu , falls . Das heißt, alle außer endlich vielen Elementen müssen kleineren Betrags als sein. Nämlich jene für die gilt .
Wenn eine Majorantenreihe konvergiert, so ist auch die Reihe konvergent.
Beispiele
Bearbeitenerstes Beispiel
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ist eine Majorante, von der wir wissen, dass sie konvergiert. Also konvergiert auch .
Quotientenkriterium
BearbeitenEine Reihe konvergiert absolut, wenn , so dass gilt:
Beispiele
BearbeitenWurzelkriterium
BearbeitenEine Reihe konvergiert absolut, wenn mit
Beispiele
BearbeitenLeibnizkriterium
BearbeitenReihen mit heißen alternierende Reihen. Sie sind dadurch gekennzeichnet, dass die Summanden abwechselnd positiv und negativ sind.
Sei eine monoton fallende Folge nicht-negativer Zahlen mit .
Dann konvergiert die Reihe.
Beispiele
Bearbeiten(Reihe alterniert)
, also (Leibnizkriterium erfüllt, Reihe konvergiert)
Integraltest
BearbeitenSei , wobei stetig, monoton abnehmend. Dann gilt:
Beispiel
Bearbeitenkonvergiert, da monoton fallend ist und