Mathematik: Analysis: Konvergenz von Reihen
Einleitung Bearbeiten
Die Folge der Partialsummen der Reihe sei . Die Reihe heißt genau dann konvergent, wenn .
Der Grenzwert von wird als Summe oder Wert der Reihe bezeichnet: .
Nicht konvergente Reihen heißen divergent.
Cauchykriterium Bearbeiten
Eine Reihe konvergiert dann, wenn die Folge der Partialsummen eine Cauchy-Folge ist.
Eine Reihe konvergiert absolut, wenn konvergiert.
Beispiele Bearbeiten
Majorantenkriterium Bearbeiten
Gegeben sei die Reihe . Die Reihe heißt Majorantenreihe zu , falls . Das heißt, alle außer endlich vielen Elementen müssen kleineren Betrags als sein. Nämlich jene für die gilt .
Wenn eine Majorantenreihe konvergiert, so ist auch die Reihe konvergent.
Beispiele Bearbeiten
erstes Beispiel Bearbeiten
ist eine Majorante, von der wir wissen, dass sie konvergiert. Also konvergiert auch .
Quotientenkriterium Bearbeiten
Eine Reihe konvergiert absolut, wenn , so dass gilt:
Beispiele Bearbeiten
Wurzelkriterium Bearbeiten
Eine Reihe konvergiert absolut, wenn mit
Beispiele Bearbeiten
Leibnizkriterium Bearbeiten
Reihen mit heißen alternierende Reihen. Sie sind dadurch gekennzeichnet, dass die Summanden abwechselnd positiv und negativ sind.
Sei eine monoton fallende Folge nicht-negativer Zahlen mit .
Dann konvergiert die Reihe.
Beispiele Bearbeiten
(Reihe alterniert)
, also (Leibnizkriterium erfüllt, Reihe konvergiert)
Integraltest Bearbeiten
Sei , wobei stetig, monoton abnehmend. Dann gilt:
Beispiel Bearbeiten
konvergiert, da monoton fallend ist und