Mathematik: Analysis: Konvergenz von Folgen

Einleitung

Gegeben sei eine Folge $\left(a_{k}\right)_{k=1}^{\infty }$ in einem metrischen Raum $(X,d)$. Bei Folgen sollte man die geschweiften Mengenklammern gerade nicht verwenden, sondern runde Klammern. $\left(a_{k}\right)_{k=1}^{\infty }$ heißt konvergent gegen den Grenzwert $a$, wenn $\forall \varepsilon >0$ $\exists k_{0}\in \mathbb {N} :\forall k>k_{0}$ gilt: $d(a_{k},a)<\varepsilon$.

Eine Folge mit dem Grenzwert $a=0$ nennt man eine Nullfolge.

Cauchyfolgen

Eine Folge $\left(a_{k}\right)_{k=1}^{\infty }$ in einem metrischen Raum $(X,d)$ heißt Cauchy-Folge, wenn $\forall \varepsilon >0$ $\exists k_{0}\in \mathbb {N} :\forall k_{1},k_{2}>k_{0}$ gilt: $d(a_{k_{1}},a_{k_{2}})<\varepsilon$.

Vollständigkeit

Ein metrischer Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert, heißt vollständig.

Beispiel: Der Raum der reellen Zahlen ist vollständig. Der Raum der rationalen Zahlen hingegen nicht. Betrachtet man z.B. die Folge $\left(a_{n}\right)_{n}$ mit $a_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$, so ist offensichtlich jedes Folgenglied in $\mathbb {Q}$. Der Grenzwert ist jedoch $e\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q}$ mit der eulerschen Zahl e.