Mathematik: Analysis: Konvergenz von Folgen

EinleitungBearbeiten

Gegeben sei eine Folge   in einem metrischen Raum  . Bei Folgen sollte man die geschweiften Mengenklammern gerade nicht verwenden, sondern runde Klammern.   heißt konvergent gegen den Grenzwert  , wenn     gilt:  .

Eine Folge mit dem Grenzwert   nennt man eine Nullfolge.

CauchyfolgenBearbeiten

Eine Folge   in einem metrischen Raum   heißt Cauchy-Folge, wenn     gilt:  .

VollständigkeitBearbeiten

Ein metrischer Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert, heißt vollständig.

Beispiel: Der Raum der reellen Zahlen ist vollständig. Der Raum der rationalen Zahlen hingegen nicht. Betrachtet man z.B. die Folge   mit  , so ist offensichtlich jedes Folgenglied in  . Der Grenzwert ist jedoch   mit der eulerschen Zahl e.