Funktion
Ableitungen
Erklärung zum Ableiten
f
(
x
)
=
x
n
{\displaystyle f(x)=x^{n}\,}
f
′
(
x
)
=
n
x
n
−
1
{\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}\,}
Man setzt den Exponenten n vor die Variable x bzw. man multipliziert beide miteinander. Von dem Exponenten wird 1 subtrahiert.
f
(
x
)
=
a
⋅
x
n
+
b
{\displaystyle f(x)=a\cdot x^{n}+b\,}
f
′
(
x
)
=
a
⋅
n
⋅
x
n
−
1
{\displaystyle f'(x)=a\cdot n\cdot x^{n-1}\,}
Gleiche Vorgehensweise wie oben, der Exponent n wird hier nur noch mit dem Faktor a multipliziert und der Summand der mit keinem x multipliziert wird, fällt einfach weg.
f
(
x
)
=
x
=
x
1
2
{\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}}
f
′
(
x
)
=
1
2
x
=
1
2
x
−
1
2
{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}={\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}}
Bei
x
{\displaystyle {\sqrt {x}}}
f
(
x
)
=
e
x
{\displaystyle f(x)=e^{x}\,}
f
′
(
x
)
=
e
x
{\displaystyle f'(x)=e^{x}\,}
f
″
(
x
)
=
e
x
{\displaystyle f''(x)=e^{x}\,}
Egal wie oft man
e
x
{\displaystyle e^{x}\,}
f
(
x
)
=
sin
x
{\displaystyle f(x)=\sin x\,}
f
′
(
x
)
=
cos
x
{\displaystyle f'(x)=\cos x\,}
Die Ableitung des Sinus von
x
{\displaystyle x\,}
x
{\displaystyle x\,}
f
(
x
)
=
cos
x
{\displaystyle f(x)=\cos x\,}
f
′
(
x
)
=
−
sin
x
{\displaystyle f'(x)=-\sin x\,}
Die Ableitung des Kosinus von
x
{\displaystyle x\,}
x
{\displaystyle x\,}
f
(
x
)
=
tan
x
{\displaystyle f(x)=\tan x\,}
f
′
(
x
)
=
1
cos
2
x
=
1
+
tan
2
x
{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x}
f
(
x
)
=
a
x
(
a
>
0
;
a
≠
1
)
{\displaystyle f(x)=a^{x}(a>0;a\neq 1)\,}
f
′
(
x
)
=
a
x
⋅
ln
a
=
a
x
log
a
e
{\displaystyle f'(x)=a^{x}\cdot \ln a={\frac {a^{x}}{\log _{a}e}}\,}
f
″
(
x
)
=
a
x
⋅
ln
a
⋅
ln
a
{\displaystyle f''(x)=a^{x}\cdot \ln a\cdot \ln a\,}
f
(
x
)
=
ln
x
{\displaystyle f(x)=\ln x\,}
f
′
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x}}}
f
″
(
x
)
=
−
1
x
2
{\displaystyle f''(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}}
f
(
x
)
=
log
a
x
{\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,}
(
a
>
0
;
a
≠
1
;
x
>
0
)
{\displaystyle (a>0;a\neq 1;x>0)\,}
f
′
(
x
)
=
1
x
⋅
ln
a
{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x\cdot \ln a}}\,}
f
″
(
x
)
=
−
1
x
2
⋅
ln
a
{\displaystyle f''(x)=-{\frac {1}{x^{2}\cdot \ln a}}}
Der Exponent von
x
{\displaystyle x\,}
f
(
x
)
=
arcsin
x
{\displaystyle f(x)=\arcsin x\,}
f
′
(
x
)
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
f
″
(
x
)
=
x
(
1
−
x
2
)
⋅
1
−
x
2
{\displaystyle f''(x)={\frac {x}{(1-x^{2})\cdot {\sqrt {1-x^{2}}}}}}
f
(
x
)
=
arccos
x
{\displaystyle f(x)=\arccos x\,}
f
′
(
x
)
=
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle f'(x)={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
f
″
(
x
)
=
−
x
(
1
−
x
2
)
⋅
1
−
x
2
{\displaystyle f''(x)={\frac {-x}{(1-x^{2})\cdot {\sqrt {1-x^{2}}}}}}
f
(
x
)
=
arctan
x
{\displaystyle f(x)=\arctan x\,}
f
′
(
x
)
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}
f
″
(
x
)
=
−
2
x
(
1
+
x
2
)
2
{\displaystyle f''(x)={\frac {-2x}{(1+x^{2})^{2}}}}
