Mathematik: Analysis: Anhänge: Metrische Räume

Wichtige Beispiele Metrischer RäumeBearbeiten

Die wichtigsten Metrischen Räume in der Mathematik, die man ständig verwendet, sind   und  .
Ebenso sind sämtliche endlich dimensionalen Euklidische und Unitäre Vektorräume mit der Standardnorm metrisch.
Jede Menge wird mit Hilfe der Funktion   für   und   für   zu einem Metrischen Raum. Man spricht von DER diskreten Metrik, welche ebenfalls die diskrete Topologie erzeugt.

Lemma: Jedes abzählbare Produkt metrischer Räume   mit Metriken   und der Voraussetzung   für eine von i unabhängige Konstante C kann mit der folgenden Funktion zu einem Metrischen Raum gemacht werden: zu   definiere:  
Beweis: Die drei Eigenschaften einer Metrik übertragen sich direkt, falls die Summen konvergieren und dies ist der Fall, da sie durch 2C nach oben abgeschätzt werden kann.

Lemma: Sie M ein metrischer Raum mit Metrik d(.,.). Dann definiert   ebenfalls eine Metrik mit  

Bemerkung:Die Metriken sind sogar äquivalent, das heißt sie induzieren die gleichen offenen Mengen.

Satz: Jedes abzählbare Produkt metrischer Räume   mit Metriken   kann mit der folgenden Funktion zu einem Metrischen Raum gemacht werden: zu   definiere: