Buchanfang lineare Algebra 2/Projektionen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“


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To-Do:

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Einführung und AnschauungBearbeiten

  • Wir haben im Artikel "LAI - Vektorraum:Summe und direkte Summe - Komplemente von Unterräumen" gesehen, dass man einen Vektorraum   mit Unterraum   zerlegen kann in eine direkte Summe   aus   und einem Komplement   in   (das Komplement ist nicht eindeutig)
  • Wir wollen Vektoren   zerlegen in  
  • Bild einer Zerlegung eines zweidimensionalen Vektors in zwei andere Vektoren
  • Verweis auf Linearkombinationen
  • Idee: einer der Zerlegungsvektoren wird vergessen/ weggeschmissen
  • Vergleich Schattenwurf. Der Vektor der vergessen wird ist die Richtung in die der Schatten fällt. Der Vektor der getroffen wird ist der Schatten, des Vektoren/"Punktes", der zerlegt wurde.
  • Dafür wollen wir eine lineare Abbildung, die uns zu einem   das zugehörige   ausgibt. (Eine Lineare Abbildung kann uns nicht   und   rausgeben)
  • Anders gesagt wollen wir einen Vektor   aus dem großen Vektorraum   reduzieren auf einen Vektor   aus dem kleinen Vektorraum  
  • Gesucht:  
  • Beobachtung: Wenn unser   schon aus U ist, also  , dann ist   die einzige mögliche Zerlegung in ein Element aus U und seinem Komplement W. Es folgt  . Anders gesagt   oder  . Warum ist das das gleiche? Also ist sogar  
  • Anders gesagt. Der Unterraum auf den wir abbilden wird von unserer Abbildung nicht verändert.

Welche Anforderungen wollen wir an eine Projektion stellen?

  • Wir wissen schonmal, dass  , bzw.   seien soll.
  • Wir wollen, dass   eine Zerlegung in   und   ist, mit  .
  • Beobachtung:  , da unsere Abbildung Elemente   nicht verändert. Stellen wir die gleichung um erfahren wir, dass  . Unsere Abbildung soll also Elemente aus   auf   abbilden. Das ergibt auch Sinn, denn haben wir ein Element   so ist   die eindeutige Zerlegung in Elemente aus   und  . Es muss also  .
  • Setzen wir diese beiden Sachen voraus, so ist  
  • Wir wollen zu einer Abbildung sagen können ob sie eine Projektion für irgendeine Zerlegung   ist. Das heisst wir kennen   und   erstmal nicht
  • Wir haben oben schon gesagt, dass für eine Projektion auf einen Unterraum   gelten muss  . Also ist   der einzige Kandidat für  
  • Wir erinnern uns, dass es mehrere mögliche Komplimente zu   in   gibt.
  • Auf der anderen Seite muss für   gelten  . Also ist  .
  • Hier wäre es nützlich schon die Definition der komplementären Projektion zu haben um die Zerlegung explizit angeben zu können.

Definition und Komplementäre ProjektionBearbeiten

  • Eine lineare Abbildung   heist Projektion, falls  , bzw.   ist.

Dualität zur Direkten SummeBearbeiten

BeispileBearbeiten

  • Schattenwurf
  • Projektionen an die Leiwand sind keine Mathematischen Projektionen

Orthogonale ProjektionenBearbeiten

Projektionen BestimmenBearbeiten

BeispielaufgabenBearbeiten