Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang lineare Algebra/Abstellraum Untervektorraum

Vektorraum der PolynomeBearbeiten

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To-Do:

Das Kapitel "Vektorraum der Polynome" in den Abstellraum schieben. Wir werden es erst in Linearer Algebra 2 benutzen

Du kennst sicher aus der Schule Polynome. Polynome sind Funktionen folgender Art: ; dabei ist .

Wir wollen im Folgenden den Polynomraum etwas näher untersuchen.[1] Wir betrachten die Polynome nicht als Funktionen, bei denen für die Variable ein Wert eingesetzt werden kann und dann ein errechnet wird, sondern wir betrachten die Polynome selbst als Vektoren über dem Körper ihrer Koeffizienten, also als Vektoren der Form .

Dabei heißt der Grad des Polynoms und gibt den höchsten Exponenten des Polynoms an.

Die Menge ist mit folgender Vektoraddition und Skalar Multiplikation ein Vektorraum über dem Körper .

  • Addition: mit
  • Skalar Multiplikation: mit

Man bezeichnet diesen Vektorraum auch mit und nennt ihn den Vektorraum der Polynome über dem Körper .

Aufgabe (Polynome als Vektorraum)

Zeige, dass ein Vektorraum über ist.

Wir bezeichnen weiter mit die Menge der Polynome, die höchstens den Grad haben. Also ist beispielsweise

Weiterführende BeispieleBearbeiten

To-Do:

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To-Do:

Verwenden jetzt weiterführende Begriffe, insbesondere lineare Abbildungen, Kern, Bild etc.

Polynome sind Unterräume von  Bearbeiten

Es gilt   ist Untervektorraum von  ,[2] denn das Nullpolynom   und damit  .

Sei   und   mit  .

Für   gilt dann

 .

Damit ist   bezüglich Addition und Skalar Multiplikation abgeschlossen und ist damit ein Unterraum von  

BemerkungenBearbeiten

  • Das Nullpolynom ist definiert als
 
  • Es gelten, wie Du leicht zeigen kannst, folgende Inklusionen von Unterräumen:
 
  • Sei   die Menge aller Polynome mit genauem Grad   ist kein Unterraum von  , denn sei
  und  ,

dann ist zwar  , aber die Summe

 

Damit ist G bzgl. der Addition nicht abgeschlossen und damit kein Unterraum.

  • Wir betrachten die Menge   aller Polynome, die bei   eine Nullstelle[3] haben, und zeigen, dass   ein Unterraum von   ist. Sei
 ,

dann ist  , denn für das Nullpolynom   gilt   und damit ist  . Weiter gilt für  . Es ist   und damit ist

 .

Es gilt auch für alle Skalare   und alle  :

 

und damit ist  .

Damit sind die Unterraumaxiome nachgewiesen.

  • Die Menge   ist kein Unterraum, denn das Nullpolynom ist kein Element von  , da laut Definition   für alle   und damit insbesondere  .
  1. http://userpage.fu-berlin.de/def/Bilder/Polynomraeume.pdf
  2. http://www.math.uni-leipzig.de/~schueler/linalg/kapitel2.pdf
  3. siehe auch Nullstelle