Buchanfang lineare Algebra/Abstellraum Euklidische Vektorräume – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Der euklidische Vektorraum

Wenn wir die Zeilenvektoren des reellen Koordinatenraums $\mathbb {R} _{n}$ in Spaltenvektoren umwandeln, erhalten wir den reellen Vektorraum

$\mathbb {R} ^{n}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\right|x_{i}\in \mathbb {R} ;\,1\leq i\leq n\right\}$

.

Die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation funktioniert komponentenweise, ganz analog zur Addition und Skalarmultiplikation im Koordinatenraum $\mathbb {R} _{n}$. Die Skalar Multiplikation im $\mathbb {R} ^{n}$ führt einen Vektor ebenfalls in einen Vektor über,

also für $\beta \in \mathbb {R}$ und $v={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{n}$ gilt $\beta \cdot v=\beta \cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\beta v_{1}\\\beta v_{2}\\\vdots \\\beta v_{n}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{n}$

Das Skalarprodukt

Wie wir im vorhergehenden Kapitel schon gesehen haben, können Vektoren im $\mathbb {R} ^{2}$ und $\mathbb {R} ^{3}$ als Pfeile dargestellt werden. Dabei stellen Pfeile, die parallel, gleich lang und gleich orientiert sind, den selben Vektor dar. Diese Definition von Vektoren ist dir sicher aus deiner Schulzeit bekannt.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren im Anschauungsraum hängt von der Länge der Vektoren und dem eingeschlossenen Winkel ab.

Zusätzlich zur Vektoraddition und Skalarmultiplikation wollen wir eine weitere Verknüpfung von zwei Vektoren ${\vec {a}},\,{\vec {b}}\in \mathbb {R} ^{2}$ einführen, die den beiden Vektoren einen Skalar (Zahl) in $\mathbb {R}$ zuordnet. Wir nennen diese Verknüpfung Skalarprodukt und definieren sie geometrisch in der euklidischen Ebene wie folgt:

Definition (Skalarprodukt)

Seien die Längen der Vektoren ${\vec {a}},\,{\vec {b}}\in \mathbb {R} ^{2}$ mit $|{\vec {a}}|,\,|{\vec {b}}|$ bezeichnet. Sei weiterhin $\varphi =\sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}})$ der von ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ eingeschlossenen Winkel, dann ist das Skalarprodukt

$\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle ={\begin{cases}0{\text{ für }}{\vec {a}}={\vec {0}}{\text{ oder }}{\vec {b}}={\vec {0}}\\|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\,\cos \sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}})=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\,\cos \varphi \end{cases}}$

Hinweis

+++ Ganz analog gilt diese Definition auch im $\mathbb {R} ^{3}.$ +++

Warnung

Das Skalarprodukt ergibt keinen Vektor sondern einen Skalar (eine Zahl)!

Geometrische Veranschaulichung

Orthogonale Projektion $\scriptstyle {\vec {b}}_{\vec {a}}$ des Vektors $\scriptstyle {\vec {b}}$ auf die durch $\scriptstyle {\vec {a}}$ bestimmte Richtung

Betrachte zur Veranschaulichung der obigen Definition die orthogonale Projektion ${\vec {b}}_{\vec {a}}$ des Vektors ${\vec {b}}$ auf die durch ${\vec {a}}$ bestimmte Richtung und setze

$b_{a}={\begin{cases}|{\vec {b}}_{\vec {a}}|&{\text{falls }}{\vec {a}},{\vec {b}}_{\vec {a}}{\text{ gleichorientiert}}\\-|{\vec {b}}_{\vec {a}}|&{\text{falls }}{\vec {a}},{\vec {b}}_{\vec {a}}{\text{ entgegengesetzt orientiert}}\end{cases}}$

Es gilt dann $b_{a}=|{\vec {b}}|\,\cos \varphi ,$ und für das Skalarprodukt von ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ gilt:

$\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle =|{\vec {a}}|\,b_{a}$

Ganz analog gilt für die orthogonale Projektion ${\vec {a}}_{\vec {b}}$ des Vektors ${\vec {a}}$ auf die durch ${\vec {b}}$ bestimmte Richtung und setze

$a_{b}={\begin{cases}|{\vec {a}}_{\vec {b}}|&{\text{falls }}{\vec {b}},{\vec {a}}_{\vec {b}}{\text{ gleichorientiert}}\\-|{\vec {a}}_{\vec {b}}|&{\text{falls }}{\vec {b}},{\vec {a}}_{\vec {b}}{\text{ entgegengesetzt orientiert}}\end{cases}}$

Es gilt $a_{b}=|{\vec {a}}|\,\cos \varphi ,$ und für das Skalarprodukt von ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ gilt:

$\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle =|{\vec {b}}|\,a_{b}$

Eigenschaften des Skalarprodukts

Aus der Definition des Skalarprodukts $\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle =|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\,\cos \varphi$ ergibt sich direkt:

• Sind ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ parallel und gleichorientiert, d.h. $\varphi =0^{\circ }$ und damit $\cos 0^{\circ }=1,$ so gilt

$\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle =|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|$

• Sind ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ parallel und entgegengesetzt orientiert, d.h. $\varphi =180^{\circ }$ und damit $\cos {180}^{\circ }=-1,$ so gilt

$\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle =-|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|$

• Insbesondere ergibt das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst das Quadrat seiner Länge

$\langle {\vec {a}},{\vec {a}}\rangle =|{\vec {a}}|\,|{\vec {a}}|\,\cos 0^{\circ }=|{\vec {a}}|^{2}$

• Sind ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ orthogonal, d.h. $\varphi =90^{\circ }$ und damit $\cos {90}^{\circ }=0,$ so gilt

$\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle =0$

• Umgekehrt gilt für ${\vec {0}}\neq {\vec {a}},\,{\vec {b}}$

Ist $\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle =0$ dann ist ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ orthogonal, denn

$|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\,\cos \varphi =0\,\Rightarrow \,\cos \varphi =0\,\Rightarrow \,\varphi =90^{\circ }$

• Ist $\sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}})$ ein spitzer Winkel, d.h. $0^{\circ }<\varphi <{90}^{\circ }$ und damit $0<\cos \varphi <1,$ so gilt

$\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle >0$

• Ist $\sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}})$ ein stumpfer Winkel, d.h. ${90}^{\circ }<\varphi <{180}^{\circ }$ und damit $-1<\cos \varphi <0,$ so gilt

$\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle <0$

Skalarprodukt im kartesischen Koordinatensystem

Führen wir in der euklidischen Ebene und im euklidischen Raum kartesische Koordinaten ein, dann erhalten wir folgende Menge für die euklidische Ebene

${\mathfrak {E}}=\left\lbrace {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}\mid x_{1},\,x_{2}\in \mathbb {R} \right\rbrace =\mathbb {R} ^{2}$

und für den euklidischen Raum die Menge

${\mathfrak {R}}=\left\lbrace {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\mid x_{1},\,x_{2},\,x_{3}\in \mathbb {R} \right\rbrace =\mathbb {R} ^{3}$

In der euklidischen Ebene lässt sich das Skalarprodukt der Vektoren ${\vec {a}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}$ und ${\vec {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}$ darstellen als $\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}$

Kanonische Einheitsvektoren in der euklidischen Ebene

Diese Vektoren lassen sich mit Hilfe der kanonischen Einheitsvektoren ${\mathfrak {e}}_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und ${\mathfrak {e}}_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ darstellen als

${\vec {a}}=a_{1}\cdot {\mathfrak {e}}_{1}+a_{2}\cdot {\mathfrak {e}}_{2}$ und ${\vec {b}}=b_{1}\cdot {\mathfrak {e}}_{1}+b_{2}\cdot {\mathfrak {e}}_{2}$

Zunächst gilt, dass die Einheitsvektoren ${\mathfrak {e}}_{1};\,{\mathfrak {e}}_{2}$ orthogonal sind und damit ist wegen der obigen Eigenschaften des Skalarprodukts:

$\langle {\mathfrak {e}}_{1},{\mathfrak {e}}_{2}\rangle =0=\langle {\mathfrak {e}}_{2},{\mathfrak {e}}_{1}\rangle$

Außerdem haben die Einheitsvektoren die Länge 1 und damit gilt wegen der obigen Eigenschaften des Skalarprodukts:

$\langle {\mathfrak {e}}_{1},{\mathfrak {e}}_{1}\rangle =1$ und $\langle {\mathfrak {e}}_{2},{\mathfrak {e}}_{2}\rangle =1$

Damit ist

${\begin{aligned}\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle &=\\[0.3em]&=\left\langle {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}\right\rangle \\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Darstellung mit Einheitsvektoren}}\right.}\\[0.3em]&=\langle (a_{1}\,{\mathfrak {e}}_{1}+a_{2}\,{\mathfrak {e}}_{2}),(b_{1}\,{\mathfrak {e}}_{1}+b_{2}{\mathfrak {e}}_{2})\rangle \\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Ausmultiplizieren}}\right.}\\[0.3em]&=a_{1}\,b_{1}\,\langle {\mathfrak {e}}_{1},{\mathfrak {e}}_{1}\rangle +a_{1}\,b_{2}\,\langle {\mathfrak {e}}_{1},{\mathfrak {e}}_{2}\rangle +a_{2}\,b_{1}\,\langle {\mathfrak {e}}_{2},{\mathfrak {e}}_{1}\rangle +a_{2}\,b_{2}\,\langle {\mathfrak {e}}_{2},{\mathfrak {e}}_{2}\rangle \\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Skalarprodukt der Einheitsvektoren}}\right.}\\[0.3em]&=a_{1}\,b_{1}\cdot 1+a_{1}\,b_{2}\cdot 0+a_{2}\,b_{1}\cdot 0+a_{2}\,b_{2}\cdot 1\\[0.3em]&=a_{1}\,b_{1}+a_{2}\,b_{2}\end{aligned}}$

Wir haben damit gezeigt, dass die geometrische Definition des Skalarprodukts mit der Definition des Skalarprodukts in Koordinatenform übereinstimmt.

Im dreidimensionalen euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{3}$ erhält man entsprechend für die Vektoren

${\vec {a}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}$ und ${\vec {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}$

die Darstellung

$\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle =\left\langle {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}\right\rangle =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.$

Allgemein gilt für den n-dimensionalen euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{n}$ für das Skalarprodukt der Vektoren ${\vec {a}}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})^{T}$ und ${\vec {b}}=(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})^{T}$

$\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle =\left\langle {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}\right\rangle =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}.$

Bemerkungen

Das Skalarprodukt ist damit eine Funktion $s\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$, die jedem geordneten Paar $({\vec {a}},{\vec {b}})$ von Vektoren die reelle Zahl $\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle$ zuordnet, mit folgenden Eigenschaften:

1. s ist symmetrisch, d.h. es gilt das Kommutativgesetz:

   $\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle =\langle {\vec {b}},{\vec {a}}\rangle$ für alle Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$

2. s ist homogen in jedem Argument (gemischtes Assoziativgesetz):

   $\langle (\rho {\vec {a}}),{\vec {b}}\rangle =\rho \,\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle =\langle {\vec {a}},(\rho {\vec {b}})\rangle$ für alle Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ und alle Skalare $\rho \in \mathbb {R}$

3. s ist additiv in jedem Argument, d.h. es gilt das Distributivgesetz:

   $\langle {\vec {a}},({\vec {b}}+{\vec {c}})\rangle =\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle +\langle {\vec {a}},{\vec {c}}\rangle$ und

   $\langle ({\vec {a}}+{\vec {b}}),{\vec {c}}\rangle =\langle {\vec {a}},{\vec {c}}\rangle +\langle {\vec {b}},{\vec {c}}\rangle$ für alle Vektoren ${\vec {a}},$ ${\vec {b}}$ und ${\vec {c}}.$

Die Eigenschaften 2 und 3 fasst man auch zusammen zu: Das Skalarprodukt ist bilinear.

1. Die Bezeichnung gemischtes Assoziativgesetz für die 2. Eigenschaft verdeutlicht, dass dabei ein Skalar und zwei Vektoren so verknüpft werden, dass die Klammern wie beim Assoziativgesetz vertauscht werden können.
2. Da das Skalarprodukt keine innere Verknüpfung ist, ist ein Skalarprodukt von drei Vektoren nicht definiert, daher stellt sich die Frage nach einer echten Assoziativität nicht. Im Ausdruck

   $(\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle )\cdot {\vec {c}}$ ist nur der erste Ausdruck ein Skalarprodukt von zwei Vektoren, die zweite Multiplikation ist das Produkt eines Skalars mit einem Vektor. Der Ausdruck stellt ein Vielfaches des Vektors ${\vec {c}}.$ dar. Hingegen stellt der Ausdruck ${\vec {a}}\cdot (\langle {\vec {b}},{\vec {c}}\rangle )$ ein Vielfaches von ${\vec {a}}$ dar.

3. Im Allgemeinen gilt also

   $(\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle )\cdot {\vec {c}}\neq {\vec {a}}\cdot (\langle {\vec {b}},{\vec {c}}\rangle ).$

4. Weder die geometrische Definition noch die Definition in kartesischen Koordinaten ist willkürlich. Beide folgen aus der geometrisch motivierten Forderung, dass das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst das Quadrat seiner Länge ist, und der algebraisch motivierten Forderung, dass das Skalarprodukt die obigen Eigenschaften 1–3 erfüllt.

Aufgabe (Kommutativgesetz, gemischtes Assoziativgesetz und Distributivgesetz)

Zeige, dass das Skalarprodukt im $\mathbb {R} ^{2}$ das Kommutativgesetz, das gemischte Assoziativgesetz

und das Distributivgesetz erfüllt

Wie kommt man auf den Beweis? (Kommutativgesetz, gemischtes Assoziativgesetz und Distributivgesetz)

Gesetze durch einfaches Ansetzen und Ausnutzen des Kommutativ-, und Assoziativ- und Distributivgesetzes in $\mathbb {R}$

Beweis (Kommutativgesetz, gemischtes Assoziativgesetz und Distributivgesetz)

Kommutativgesetz:

$\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}=b_{1}a_{1}+b_{2}a_{2}=\langle {\vec {b}},{\vec {a}}\rangle$

gemischtes Assoziativgesetz:

$\langle (\beta \,{\vec {a}}),{\vec {b}}\rangle =(\beta a_{1})b_{1}+(\beta a_{2})b_{2}=\beta (a_{1}b_{1})+\beta (a_{2}b_{2})=\beta (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2})=\beta \langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle$

und weiter gilt:

$\beta \langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle =\beta (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2})=a_{1}(\beta b_{1})+a_{2}(\beta b_{2})=\langle {\vec {a}},(\beta \,{\vec {b}})\rangle$

Distributivgesetz:

${\begin{aligned}\langle {\vec {a}},({\vec {b}}+{\vec {c}})\rangle &=\\&=\left\langle {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{b_{1}+c_{1}}\\{b_{2}+c_{2}}\end{pmatrix}}\right\rangle =\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition des Skalarprodukts}}\right.}\\[0.3em]&=a_{1}(b_{1}+c_{1})+a_{2}(b_{2}+c_{2})=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivgesetz in }}\mathbb {R} \right.}\\[0.3em]&=(a_{1}b_{1}+a_{1}c_{1})+(a_{2}b_{2}+a_{2}c_{2})=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Kommutativ- und Assoziativgesetz in}}\mathbb {R} \right.}\\[0.3em]&=(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2})+(a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2})=\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition des Skalarprodukts}}\right.}\\[0.3em]&=\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle +\langle {\vec {a}},{\vec {c}}\rangle \end{aligned}}$

Ganz analog kannst du zeigen, dass gilt:

$\langle ({\vec {a}}+{\vec {b}}),{\vec {c}})\rangle =\langle {\vec {a}},{\vec {c}}\rangle +\langle {\vec {b}},{\vec {c}}\rangle$

Hinweis

Im Vektorraum $\mathbb {R} ^{n}$ ist das Skalarprodukt analog zum $\mathbb {R} ^{3}$ definiert durch $\left\langle {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}.$ Den Vektorraum $\mathbb {R} ^{n}$ mit Skalarprodukt nennt man auch euklidischen Vektorraum. Auf diesen speziellen Vektorraum gehen wir in einem späteren Kapitel noch näher ein.