Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/sigma-additive Funktionen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

In der Maßtheorie wollen wir Mengen eine Länge, eine Fläche oder ein Volumen zuordnen. Unser Ziel ist, später die "guten" Mengen durch abzählbar viele Intervalle, Rechtecke oder Quader "minimal" zu überdecken und damit die Länge, die Fläche oder das Volumen der "guten" Menge zu bestimmen.

Wir hatten im letzten Kapitel die endlichen disjunkten Vereinigungen der Rechtecke $F^{p}$ betrachtet: diese bilden einen Ring (mit $A,B\in R$ sind auch $\emptyset ,A\cup B,A\backslash B\in R$). Im Folgenden beweisen wir die Aussagen gleich allgemein für Ringe, dabei sollte man sich aber immer die endliche Vereinigung disjunkter Rechtecke vorstellen.

Als Nächstes muss unsere Flächenfunktion also mit einer abzählbaren Vereinigung von Rechtecken umgehen können. Entscheidend ist, dass die Vereinigung wieder die Form einer endlichen disjunkten Vereinigung von Rechtecken hat, d.h.

$\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\in R$

Dann muss sein Flächeninhalt übereinstimmen mit der Summe der Flächen der einzelnen Rechtecke $A_{i}$. In mathematischer Schreibweise

${\begin{aligned}{\text{Fläche }}\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=&\sum _{i=1}^{\infty }{\text{Fläche }}(A_{i})\end{aligned}}$

Diese Eigenschaft bekommt einen Namen: sie heißt sigma-additiv. Sie klingt selbstverständlich, muss aber explizit gefordert oder bewiesen werden.

Für unsere Flächen- bzw. Volumenfunktion $l$ aus dem letzten Kapitel werden wir am Ende des Kapitels zeigen, dass sie zum Glück sigma-additiv ist. $l$ wird das sogenannte Lebesguemaß werden und das ist so wichtig, dass uns ihre Sigma-Additivität einen längeren Beweis wert ist.

Definition (Endlich additive und sigma-additive Funktionen auf Ringen)

Sei $R$ ein Ring.

1. Eine Funktion $m:R\rightarrow [0,\infty ]$ heißt (endlich) additiv genau dann wenn
   ${\begin{aligned}m(\emptyset )=&0\\m\left(\biguplus _{i=1}^{n}A_{i}\right)=&\sum _{i=1}^{n}m(A_{i})\end{aligned}}$

   Hier wird die Eigenschaft des Ringes benötigt, dass endliche Vereinigungen wieder im Ring sind.

2. Eine Funktion $m:R\rightarrow [0,\infty ]$ heißt sigma-additiv genau dann wenn
   ${\begin{aligned}m(\emptyset )=&0\\{\text{Für }}\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\in R{\text{ gilt: }}m\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=&\sum _{i=1}^{\infty }m(A_{i})\end{aligned}}$
3. Da wir zu jeder Menge die leere Menge disjunkt vereinigen können
   ${\begin{aligned}A=A\uplus \emptyset \end{aligned}}$

   folgt für eine endlich additive oder sigma-additive Funktion $m$ auf Mengen, dass der Funktionswert der leeren Menge Null sein MUSS für die Wohldefiniertheit von $m$

   ${\begin{aligned}m(A)=&m(A\uplus \emptyset )\\{\stackrel {m{\text{ (sigma-)additiv }}}{=}}&m(A)+\underbrace {m(\emptyset )} _{=0}\end{aligned}}$

   Wäre z.B. $m(\emptyset )=1$ und $m(A)$ endlich, so könnte man auf beiden Seiten $m(A)$ abziehen und es ergäbe sich $0=1$, ein Widerspruch.

4. Einen Ring legen wir hier als Definitionsbereich zugrunde, weil wir genau für diesen die Flächen-/Volumenfunktion aus dem letzten Kapitel schon kennen und später eine Fortsetzung auf ein größeres Mengensystem beweisen wollen. Dazu benötigen wir die beiden Eigenschaften des Ringes, dass für $A,B$, aus dem Ring wieder $A\cup B$ und $A\backslash B$ im Ring sind.

Die plausbile Forderung der Sigma-Additivität ist nicht selbstverständlich, sie muss bewiesen oder gefordert werden. Deshalb müssen wir uns als MathematikerInnen detailliert mit Ihren Eigenschaften im nächsten Satz auseindersetzen.

Satz (Eigenschaften von endlich additiven und sigma-additiven Funktionen auf Ringen)

Sei $R$ ein Ring, $A,B,A_{i}\in R$ mit $i\in \mathbb {N}$ und $m$ endlich additiv. Dann gelten folgende 6 Aussagen:

1. $m$ ordnet größeren Mengen einen größeren Wert zu (Monotonie):
   ${\text{Für }}A\subseteq B{\text{ gilt }}m(A)\leq m(B)$
2. Ist $m(A)$ endlich und $B$ enthalten in $A$, so kann $m$ der A ohne B, d.h. $A\backslash B$ der Mengen $A,B$ eine Differenz der Werte $m(A)$ und $m(B)$ zuordnen: Für $A\subseteq B,m(A)<\infty$ gilt $m(B\backslash A)=m(B)-m(A)$ Anschauung: Schneidet man z.B. ein kleines Rechteck $B$, das in einem großen Rechteck $A$ enthalten ist, aus $A$ heraus, erhält man $4$ kleine Rechtecke $C_{1},\ldots ,C_{4}$ und die Gesamtfläche von $A$ ist die genau die Summe der insgesamt $5$ kleinen Rechtecke $A,C_{1},\ldots ,C_{4}$.
   • 
     Ein Quader aus einem Quader herausgeschnitten ergibt 4 kleine disjunkte Quader
3. Die Fläche einer endlichen Vereinigung ist kleiner gleich der Summe der Einzelflächen: $m\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}m(A_{i})$ Anschauung: Nimmt man z.B. Rechtecke als $A_{1},\ldots ,A_{n}$, so können diese sich überschneiden, da keine Disjunktheit gefordert wird. Dann ist ihre Gesamtfläche kleiner als die Summe der Einzelfächen.
4. Die Summe der Einzelfächen ist kleiner gleich der Fläche der disjunkten abzählbaren Vereinigung. Für $\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\in R$ gilt $\sum _{i=1}^{\infty }m(A_{i})\leq m\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)$ Anschauung: Betrachtet man wieder als Beispiel den Ring der endlichen disjunkten Vereinigungen von Rechtecken, so wird gefordert, dass die abzählbare Vereinigung der $A_{i}$ sich schreiben lässt als eine endliche disjunkte Vereinigung von Rechtecken $B_{1},\ldots ,B_{n}$. Hier würden wir sogar ein Gleichheitszeichen erwarten, bewiesen wird aber nur ein kleiner gleich.
5. Die Summe zweier Flächen ist gleich der Summe der Flächen des Schnitts und der Vereinigung: $m(A\cup B)+m(A\cap B)=m(A)+m(B)$ Anschauung: Wenn wir zwei sich schneidende Rechtecke betrachten, ist es genau der Schnitt $A\cap B$ der ja "doppelt" vorhanden ist: in $A$ und in $B$. Wenn wir die Fläche von $A\cup B$ messen, fehlt also einmal $m(A\cap B)$, um die Summe der Flächen $m(A)$ und $m(B)$ zu erhalten.
   • 
     Der Schnitt von zwei Rechtecken
6. Die Fläche einer abzählbaren Vereinigung ist kleiner gleich der Summe der Einzelflächen: Ist $m$ sigma-additiv und $\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in R$, so gilt $m\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }m(A_{i})$ Anschauung: Das ist, was wir für Rechtecke erwarten: die $A_{i}$ dürfen sich ja überschneiden, da ihre Disjunktheit nicht vorausgesetzt wird. Die Fläche der abzählbaren Vereinigung der $A_{i}$ ist also höchstens so groß wie die abzählbare Summe der Flächen der $A_{i}$. Wir fordern $\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in R$, weil $m$ auf $R$ lebt.

Beweis (Eigenschaften von endlich additiven und sigma-additiven Funktionen auf Ringen)

Die Beweise verlaufen ähnlich: wir konstruieren uns eine disjunkte Vereinigung, wenden darauf die (sigma-)Additivität von m an und schätzen ggf. die Einzelterme mit der Monotonie, d.h. 1.), ab.

1.):

Die Menge $B$ lässt sich darstellen, als der Teil in $A$ und der Teil außerhalb von $A$. Wir erhalten eine disjunkte Vereinigung

$B=(B\backslash A)\uplus (B\backslash A^{C})$

Da $A\subseteq B$ folgt $B\cap A=A$ und somit

${\begin{aligned}B&=(B\backslash A)\uplus (B\cap (A^{C})^{C})\\&=(B\backslash A)\uplus (B\cap A)\\&{\stackrel {A\subseteq B}{=}}(B\backslash A)\uplus A\end{aligned}}$

Darauf $m$ angewendet ergibt mit der Additivität

$m(B)=m((B\backslash A)\uplus A){\stackrel {m{\text{ additiv}}}{=}}\underbrace {m(B\backslash A)} _{\geq 0}+m(A)\geq m(A)$

2.):

Mit dem Beweis von 1.) gilt

$m(B)=m(B\backslash A)+m(A)$

Da $m(A)<\infty$, kann man es auf beiden Seiten abziehen. Das ergibt

$m(B\backslash A)=m(B)-m(A)$

3.):

Um die Additivität von $m$ ausnutzen zu können, machen wir die Vereinigung künstlich disjunkt und verwenden dann 1.):

Die zweifache Vereinigung $A_{1}\cup A_{2}$ lässt sich darstellen als die Elemente, die in $A_{1}$ sind und die Elemente, die in $A_{2}$, aber nicht $A_{1}$ sind. Man erhält eine disjunkte Vereinigung:

$A_{1}\cup A_{2}=A_{1}\uplus (A_{2}\backslash A_{1})$

Die dreifache Vereinigung $A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}$ lässt sich darstellen als die Elemente, die in $A_{1}$ sind, als die Elemente, die in $A_{2}$, aber nicht $A_{1}$ sind und als die Elemente, die in $A_{3}$, aber nicht in $A_{1}$ oder $A_{2}$ sind. Man erhält eine disjunkte Vereinigung:

${\begin{aligned}A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}=A_{1}\uplus (A_{2}\backslash A_{1})\uplus (A_{3}\backslash (A_{1}\cup A_{2}))\end{aligned}}$

Die $n$-fache Vereinigung lässt sich dann als disjunkte Vereinigung darstellen durch

$\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\uplus \biguplus _{i=2}^{n}\left(A_{i}\backslash \bigcup _{j=1}^{i-1}A_{j}\right)$

Nun lässt sich $m$ anwenden und die Additivität ausnutzen:

${\begin{aligned}m\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=&m\left(A_{1}\uplus \biguplus _{i=2}^{n}\left(A_{i}\cap \bigcup _{j=1}^{i-1}A_{j}^{C}\right)\right)\\=&m(A_{1})+\sum _{i=2}^{n}m\left(A_{i}\backslash \bigcup _{j=1}^{i-1}A_{j}\right)\end{aligned}}$

Wegen $A_{i}\backslash \bigcup _{j=1}^{i-1}A_{j}\subseteq A_{i}$ folgt mit der Monotonie aus 1.) für $i,n\geq 2$

${\begin{aligned}m\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=&m(A_{1})+\sum _{i=2}^{n}m\left(A_{i}\backslash \bigcup _{j=1}^{i-1}A_{j}\right){\stackrel {A_{i}\backslash \bigcup _{j=1}^{i-1}A_{j}\subseteq A_{i}}{\leq }}&\sum _{i=1}^{n}m(A_{i})\end{aligned}}$

4.):

Da $\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\backslash \biguplus _{i=1}^{n}A_{i}\in R$ lässt sich m auf diese Menge anwenden.

Da $\biguplus _{i=1}^{n}A_{i}\subset \biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\in R$ lässt sich 2.) anwenden.

Wir benutzen im Folgenden die Additivität von $m$ zweimal und die Nicht-Negativität von $m$ einmal benutzen, sodass gilt $\forall n\in \mathbb {N}$

${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}m(A_{i}){\stackrel {m{\text{additiv}}}{=}}&m\left(\biguplus _{i=1}^{n}A_{i}\right)\\{\stackrel {m{\text{nicht-negativ}}}{\leq }}&m\left(\biguplus _{i=1}^{n}A_{i}\right)+m\underbrace {\left(\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\backslash \biguplus _{i=1}^{n}A_{i}\right)} _{\in R}\\=&m\left(\biguplus _{i=1}^{n}A_{i}\right)+m\left(\biguplus _{i=n+1}^{\infty }A_{i}\right)\\{\stackrel {m{\text{ additiv}}}{=}}&m\left(\biguplus _{i=1}^{n}A_{i}\uplus \biguplus _{i=n+1}^{\infty }A_{i}\right)\\=&m\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\end{aligned}}$

Das galt für alle $n\in \mathbb {N}$. Im Grenzwert $\lim _{n\rightarrow \infty }$ bleibt das Kleiner-Gleich-Zeichen erhalten und es folgt

$\sum _{i=1}^{\infty }m(A_{i})=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=1}^{n}m(A_{i})\leq m\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)$

5.):

Die Elemente in $A$ ohne $B$, d.h. in $A\backslash B$, lassen sich schreiben als in $A$, aber nicht im Schnitt von $A$ und $B$

${\begin{aligned}A\backslash B&=A\backslash (B\cap A)\\B\backslash A&=B\backslash (B\cap A)\end{aligned}}$

Die Vereinigung $A\cup B$ lässt sich schreiben als disjunkte Vereinigung von 3 Mengen: die Elemente in $A$, aber nicht in $B$, die ELemente in $B$, aber nicht in $A$ und die Elemente in $A$ und $B$.

${\begin{aligned}A\cup B&=(A\backslash B)\uplus (B\backslash A)\uplus (A\cap B)\\&=(A\backslash (A\cap B))\uplus (B\backslash (A\cap B))\uplus (A\cap B)\end{aligned}}$

Da $A\cap B$ in $A$ und in $B$ liegt, gilt

${\begin{aligned}A&=(A\backslash (A\cap B))\uplus (A\cap B)\\B&=(B\backslash (A\cap B))\uplus (A\cap B)\end{aligned}}$

Nun lässt sich $m$ anwenden und seine Additivität ausnutzen. Das ergibt drei Formeln

${\begin{aligned}m(A\cup B)=&m((A\backslash B)\uplus (B\backslash A)\uplus (A\cap B))\\=&m(A\backslash (A\cap B))+m(B\backslash (A\cap B))+m(A\cap B))\\\end{aligned}}$

und

${\begin{aligned}m(A)&=m(A\backslash (A\cap B))\uplus (A\cap B))\\&=m(A\backslash (A\cap B))+m(A\cap B)\end{aligned}}$

und

${\begin{aligned}m(B)&=m(B\backslash (A\cap B))\uplus (A\cap B))\\&=m(B\backslash (A\cap B))+m(A\cap B)\end{aligned}}$

Die letzten beiden Formeln addiert und die erste eingesetzt ergibt

${\begin{aligned}m(A)+m(B)&=m(A\backslash (A\cap B))+m(A\cap B)+m(B\backslash (A\cap B))+m(A\cap B)\\&=m(A\cup B)+m(A\cap B)\end{aligned}}$

6.):

Wie im Beweis von 3.) ausgeführt, lässt sich die $n$-fache Vereinigung darstellen als disjunkte Vereinigung durch

$\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\uplus \biguplus _{i=2}^{n}\left(A_{i}\backslash \bigcup _{j=1}^{i-1}A_{j}\right)$

Ganz analog kann man durch Induktion die abzählbar unendliche Vereinigung disjunkt gestalten als

$\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}=A_{1}\uplus \biguplus _{i=2}^{\infty }\left(A_{i}\backslash \bigcup _{j=1}^{i-1}A_{j}\right)$

Darauf können wir $m$ anwenden und die sigma-Additivität ausnutzen.

Die einzelnen Terme können wir mit der Monotonie aus 1.) abschätzen wegen $A_{i}\backslash \bigcup _{j=0}^{i-1}A_{j}\subseteq A_{i}$

${\begin{aligned}m\left(\bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i}\right)=&m\left(A_{0}\uplus \biguplus _{i=1}^{\infty }\left(A_{i}\backslash \bigcup _{j=0}^{i-1}A_{j}\right)\right)\\=&m(A_{0})+\sum _{i=1}^{\infty }m(A_{i}\backslash \bigcup _{j=0}^{i-1}A_{j})\\{\stackrel {1.)}{\leq }}&\sum _{i=0}^{\infty }m(A_{i})\end{aligned}}$

}}

Satz (Die Volumenfunktion $l$ ist sigma-additiv auf $F^{p}$)

Auf dem Ring der endlich vielen disjunkten Quader ist das (verallgemeinerte) Volumen

$l:F^{p}\rightarrow [0,\infty ),\biguplus _{j=1}^{m}(a^{j},b^{j}]\mapsto \sum _{j=1}^{m}\prod _{i=1}^{p}(b_{i}^{j}-a_{i}^{j})$

sigma-additiv.

Beweis (Die Volumenfunktion $l$ ist sigma-additiv auf $F^{p}$)

Wir benötigen im Folgenden die Gleichung

${\begin{aligned}l\left(\biguplus _{j=1}^{m}(a^{j},b^{j}]\right)=&\sum _{j=1}^{m}\prod _{i=1}^{p}(b_{i}^{j}-a_{i}^{j})\\=&\sum _{j=1}^{m}l\left((a^{j},b^{j}]\right)\end{aligned}}$

$l$ ist unabhängig von der Darstellung:

Seien zwei Darstellungen von $A$ gegeben, d.h.

$A=\biguplus _{j=1}^{m}(a^{j},b^{j}]=\biguplus _{k=1}^{n}(c^{k},d^{k}]$

mit $(a^{j},b^{j}],(c^{k},d^{k}]\in I^{p}$. Wegen

${\begin{aligned}\biguplus _{j=1}^{m}(a^{j},b^{j}]=&\biguplus _{j=1}^{m}(a^{j},b^{j}]\cap \underbrace {\biguplus _{k=1}^{n}(c^{k},d^{k}]} _{=A}\\=&\biguplus _{j=1}^{m}\biguplus _{k=1}^{n}\left(\max _{j,k=1}^{m,n}(a^{j},c^{k}),\min _{j,k=1}^{m,n}(b^{j},d^{k})\right]\\=&\biguplus _{k=1}^{n}(c^{k},d^{k}]\cap \underbrace {\biguplus _{j=1}^{m}(a^{j},b^{j}]} _{=A}\\=&\biguplus _{k=1}^{n}(c^{k},d^{k}]\end{aligned}}$

gilt

${\begin{aligned}l\left(\biguplus _{j=1}^{m}(a^{j},b^{j}]\right)=&\sum _{j=1}^{m}l\left((a^{j},b^{j}]\right)\\=&\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=1}^{n}l\left(\left(\max _{j,k=1}^{m,n}(a^{j},c^{k}),\min _{j,k=1}^{m,n}(b^{j},d^{k})\right]\right)\\=&\sum _{k=1}^{n}l\left((c^{k},d^{k}]\right)\\=&l\left(\biguplus _{k=1}^{n}(c^{k},d^{k}]\right)\end{aligned}}$

und damit ist das (verallgemeinerte) Volumen unabhängig von der gewählten Darstellung.

l ist endlich additiv:

Wir rechnen die Additivität für zwei Mengen nach.

Sei $=\biguplus _{j=1}^{m}A_{j},B=\biguplus _{k=1}^{n}B_{k}$ mit $A_{j},B_{k}\in I^{p}$. Dann gilt

${\begin{aligned}l(A\uplus B)=&l\left(\biguplus _{j=1}^{m}A_{j}\uplus \biguplus _{k=1}^{n}B_{k}\right)\\=&\sum _{j=1}^{m}l(A_{j})+\sum _{k=1}^{n}l(B_{k})\\=&l\left(\sum _{j=1}^{m}A_{j}\right)+l\left(\sum _{k=1}^{n}B_{k}\right)=l(A)+l(B)\end{aligned}}$

l ist sigma-additiv auf $I^{p}$:

Ein Rechteck oder ein (verallgemeinerter) Quader lasse sich darstellen als abzählbare disjunkte Vereinigung von Rechtecken / (verallgemeinerten) Quadern:

$\biguplus _{j=1}^{\infty }(a^{j},b^{j}]=(a,b]\in I^{p}$.

Die Strategie ist wie folgt: Wir überdecken das kompakte $[a,b]$ mit den abzählbar vielen offenen (!) $(a^{j}-\delta _{j},b^{j}+\delta _{j})$ und erhalten, dass endlich viele der $(a^{j}-\delta _{j},b^{j}+\delta _{j})$ zur Überdeckung genügen, ohne Einschränkung die ersten $n$ Stück

${\begin{aligned}\lbrack a,b\rbrack \subseteq \bigcup _{j=1}^{n}(a^{j}-\delta _{j},b^{j}+\delta _{j})\end{aligned}}$

Es folgt, dass auch $(a,b]$ von den ersten $n$ $(a^{j}-\delta _{j},b^{j}+\delta _{j}]$ überdeckt wird

${\begin{aligned}(a,b]\subseteq \bigcup _{j=1}^{n}(a^{j}-\delta _{j},b^{j}+\delta _{j}]\end{aligned}}$

Jetzt steht rechts eine endliche Vereinigung, d.h. wir können die endliche Additivität von $l$ nutzen. Wir wählen die $\delta _{j}$ unterschiedlich und so klein, dass $l((a,b])$ bis auf ein festes, beliebig gewähltes $\epsilon$ in der Nähe von

${\begin{aligned}\sum _{j=1}^{\infty }l((a^{j}-\delta _{j},b^{j}+\delta _{j}])\end{aligned}}$

liegt und sind am Ziel.

Wegen

${\begin{aligned}l((a^{j},b^{j}])=\prod _{i=1}^{p}(b_{i}^{j}-a_{i}^{j})\end{aligned}}$

betrachten wir die in $x$ stetige (!) Funktion

$x\mapsto \prod _{i=1}^{p}(x+b_{i}^{j}-a_{i}^{j})$

Sei $\epsilon$ beliebig. Wegen der Stetigkeit gibt es für alle $j$ ein $\delta _{j}>0$ sodass für $2x\leq \delta _{j}$ gilt

$\left|\prod _{i=1}^{p}(2x+b_{i}^{j}-a_{i}^{j})-\prod _{i=1}^{p}(b_{i}^{j}-a_{i}^{j})\right|<{\frac {\epsilon }{2^{j}}}$

d.h. wir können die Fläche/das (verallgemeinerte) Volumen der oben verwendeten $(a^{j}-\delta _{j},b^{j}+\delta _{j}]$ abschätzen als

${\begin{aligned}l((a^{j}-\delta _{j},b^{j}+\delta _{j}])=&\prod _{i=1}^{p}(2\delta _{j}-b_{i}^{j}-a_{i}^{j})\\<&\prod _{i=1}^{p}(b_{i}^{j}-a_{i}^{j})+{\frac {\epsilon }{2^{j}}}\\=&l((a^{j},b^{j}])+{\frac {\epsilon }{2^{j}}}\end{aligned}}$

Da $[a,b]$ kompakt ist und

${\begin{aligned}(a,b]=&\bigcup _{j=1}^{\infty }(a^{j},b^{j}]\\\left[a,b\right]\subseteq &\bigcup _{j=1}^{\infty }(a^{j}-\delta _{j},b^{j}+\delta _{j})\end{aligned}}$

wird $[a,b]$ schon von endlich vielen $(a^{j}-\delta _{j},b^{j}+\delta _{j})$ überdeckt.

Ohne Einschränkung von den ersten $n$. Das ergibt

$(a,b]\subseteq [a,b]\subseteq \bigcup _{j=1}^{n}(a^{j}-\delta _{j},b^{j}+\delta _{j})\subseteq \underbrace {\bigcup _{j=1}^{n}(a^{j}-\delta _{j},b^{j}+\delta _{j}]} _{\in F^{p}}$

Da $l$ endlich additiv ist auf $F^{p}$, folgt mit dem gerade bewiesenen Satz

${\begin{aligned}l((a,b]){\stackrel {1.)Monotonie}{\leq }}&l\left(\bigcup _{j=1}^{n}(a^{j}-\delta _{j},b^{j}+\delta _{j}]\right)\\{\stackrel {3.)}{\leq }}&\sum _{j=1}^{n}l(a^{j}-\delta _{j},b^{j}+\delta _{j}])\\<&\sum _{j=1}^{n}\left(l((a^{j},b^{j}])+{\frac {\epsilon }{2^{j}}}\right)\\\leq &\sum _{j=1}^{\infty }l((a^{j},b^{j}])+\sum _{j=1}^{n}{\frac {\epsilon }{2^{j}}}\\<&\sum _{j=1}^{\infty }l((a^{j},b^{j}])+\epsilon \end{aligned}}$

Da $\epsilon >0$ beliebig ist, gilt

$l((a,b])\leq \sum _{j=1}^{\infty }l((a_{j},b_{j}])$

Die andere Ungleichung wurde allgemein für Ringe gezeigt:

$\sum _{i=1}^{\infty }l(a_{i},b_{i}]\leq l\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }(a_{i},b_{i}]\right)=l((a,b])$

und es folgt

$\sum _{i=1}^{\infty }l((a_{i},b_{i}])=l\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }(a_{i},b_{i}]\right)$

l ist sigma-additiv auf $F^{p}$:

Seien disjunkte $A_{k}$ aus $F^{p}$ gegeben

${\begin{aligned}A_{k}=&\biguplus _{l=1}^{n_{k}}C_{kl}\in F^{p}{\text{ mit}}C_{kl}\in I^{p}\end{aligned}}$

und ihre disjunkte Vereinigung wieder in $F^{p}$, d.h.

$\biguplus _{k=1}^{\infty }A_{k}=\biguplus _{j=1}^{m}B_{j}\in F^{p}{\text{ mit }}B_{j}\in I^{p}$

Dann lässt sich jedes der Rechtecke/(verallgemeinerten) Quader schreiben als disjunkte Vereinigung von Rechtecken/(verallgemeinerten) Quadern und für diese Situation haben wir die abzählbare Additivität gerade gezeigt:

$B_{j}=B_{j}\cap \biguplus _{k=1}^{\infty }A_{k}=\biguplus _{k=1}^{\infty }\biguplus _{l=1}^{n_{k}}(B_{j}\cap C_{kl})$

Da wir schon gezeigt haben, dass $l$ sigma-additiv auf $I^{p}$ ist, ergibt sich

$l(B_{j})=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{l=1}^{n_{k}}l(B_{j}\cap C_{kl})=\sum _{k=1}^{\infty }l(B_{j}\cap A_{k})$

Durch die Additivität von $l$ auf $F^{p}$ folgt durch Einsetzen der letzten Gleichung nun direkt die Sigma-Additivität

${\begin{aligned}l(A)=&l\left(\biguplus _{j=1}^{m}B_{j}\right){\stackrel {l{\text{ additiv}}}{=}}\sum _{j=1}^{m}l(B_{j})\\=&\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=1}^{\infty }l(B_{j}\cap A_{k})\\=&\sum _{k=1}^{\infty }l\left(\biguplus _{j=1}^{m}B_{j}\cap A_{k}\right)\\=&\sum _{k=1}^{\infty }l\left(\biguplus _{k=1}^{\infty }A_{k}\cap A_{k}\right)\\=&\sum _{k=1}^{\infty }l(A_{k})\end{aligned}}$