Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ primitive Funktionen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“


MotivationBearbeiten

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

Wo stehen wirBearbeiten

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien   Messräume. Wir definierten eine Abbildung   als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra   auf Mengen der Sigma-Algebra   abbildete. Es genügte, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Wir konstruierten uns durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Grenzwertbildung von numerischen Funktionen neue numerische Funktionen. Jetzt zeigen wir, dass sich alle nicht-negativen messbaren numerischen Funktionen   als Grenzwert einer monoton steigenden Folge von primitiven Funktionen darstellen lassen. Ganz entscheidend dafür ist die Voraussetzung der Messbarkeit.

Noch einmal die IndikatorfunktionBearbeiten

Unsere einfachste primitive Funktion ist die Indikatorfunktion  , die auf einem   den Wert   annimmt und auf   den Wert Null.

Im Bild die Indikatorfunktion zu  .

Satz

Für   ist die Funktion

 

messbar.

Beweis

Wir rechnen die Definition der Messbarkeit nach

Sei  . Ist die   in  , so werden alle   auf   abgebildet, ist die   in  , so werden alle   auf   abgebildet

 

Die primitiven Funktionen PBearbeiten

Aus den Indikatorfunktionen konstruieren wir bei disjunkten   durch Addition und Multiplikation mit Konstanten unsere primitiven Funktionen.

To-Do:

Bild einfügen

Definition

Seien   mit   und  

 

heißt primitive Funktion auf  . Sei

 

die Menge dieser primitiven Funktionen.

Beweis

  ist messbar, da die Indikatorfunktionen und die konstanten Funktionen

 

messbar sind. Im letzten Kapitel haben wir gezeigt, dass dann auch das Produkt und die Summe messbar sind.

Eigenschaften primitiver FunktionenBearbeiten

Die primitiven Funktionen sind der Ersatz für die Treppenfunktionen beim Riemannintegral. Beachte, dass die primitiven Funktionen immer nicht-negativ sind.

Satz

Seien   und  . Dann sind die Summe zweier primitiver Funktionen, das Produkt einer primitiven Funktion mit einer Konstanten, das Maximum und das Minimum zweier primitiver Funktionen wieder eine primitve Funktion

 

Beweis

Sei   und  . Es gilt

 

Wir verfeinern die beiden disjunkten Zerlegungen zu einer neuen disjunkten Zerlegung, indem wir die Schnitte der   und   betrachten

 

  und   lassen sich in dieser disjunkten Zerlegung schreiben als

 

Damit lassen sich die Summe, Maximum und Minimum schreiben als

 

Die nicht-negativen messbaren numerischen Funktionen P*Bearbeiten

Da wir gleich zeigen, dass sich nicht-negative Funktionen als Grenzwert monoton steigender Folgen primitiver Funktionen   darstellen lassen, definieren wir

Definition

Die Menge der nicht-negativen messbaren Funktionen ist

 

Damit   definiert ist, benötigt man, dass   Werte in   annehmen kann.

P* ist der Grenzwert primitiver Funktionen!Bearbeiten

Nun zeigen wir die Gleichheit nicht-negativer Funktionen und der Grenzwerte monoton steigender primitiven Funktionenfolgen. Beachte, dass wir bei der Konstruktion den Wertebereich zerlegen, nicht den Definitionsbereich. Das ganze funktioniert nur, weil wir durch die Voraussetzung der Messbarkeit uns Ausschnitte aus dem Wertebereich beliebig auswählen können und mit der Umkehrabbildung zurückblicken können, welche Elemente aus dem Ursprungsraum dorthin abgebildet wurden. Hilfreich ist, dass die Sigma-Algebra, aus der wir im Bildbereich auswählen, sehr groß ist. Ohne die Messbarkeitsbedingung wäre die ganze Idee der Zerlegung im Wertebereich zum Scheitern verurteilt.

To-Do:

Mit welchem Programm wurden die Bilder für die Unterteilung des Riemannintegrales gemacht? Mathe_für_Nicht-Freaks:_Riemannintegral das könnte man hier gut verwenden

Satz

Es gilt

 

Beweis

" ":

Da   messbar ist, ist   messbar und  .

" ": 1.) Konstruktion der u_n:

Betrachte im ersten Schritt die  , die von   auf das Intervall   bzw.   abgebildet werden

 

Da   nach Voraussetzung erhalten wir die disjunkte Zerlegung von  

 

Setze die Werte von   auf  ,   bzw.   fest als das dortige Minimum von  , d.h. also  ,   bzw.  

 

Da   messbar ist, gilt

 

Somit ist   messbar und in  .

Unterteile den Wertebereich im  -ten Schritt in Abschnitte der Länge  . Damit   endlich bleibt, schneide ab bei  . Das ergibt   Intervalle.

Wegen   wird jedes   auf   abgebildet und   lässt sich schreiben als disjunkte Vereinigung

 

Setze

 

Zur Konstruktion von   wähle in jedem dieser   als Funktionswert der zu konstruierenden primitiven Funktion den kleinsten Wert von   auf der Menge, d.h. den Wert  . Auf der Menge   wähle als Funktionswert von   den Wert  . Das ergibt die Darstellung

 

Da   messbar ist, sind die   in  , denn

 

Damit sind die  .

Im  -ten Schritt werden die Intervalle   im Wertebereich genau halbiert. Für   setze

 

Auf den kleineren Mengen   wählt man als Funktionswert von   erneut den kleinsten Wert von  , d.h.  , auf der (gegenüber  ) kleineren Menge   wählt man den Funktionswert   und erhält die Darstellung von  

 

2. Die Folge   ist monoton wachsend:

Wir müssen nun zeigen, dass diese Folge   monoton steigend ist. Betrachte dazu die Zerlegung von   durch die  : Für   sind sie eine Verfeinerung von den  : wegen

 

gilt

 

Für die Funktionswerte gilt auf   und   dass  

 

Nun prüfen wir die Funktionswerte auf der Menge  . Diese lässt sch disjunkt zerlegen in

 

Auf den   gilt für   dass  

 

Nun prüfen wir die Funktionswerte auf der Menge  . Dort gilt ebenfalls  

 

Damit ist für alle   größer oder gleich dem Wert von   . Damit ist die Folge primitiver Funktionen   monoton steigend.

3. Der Grenzwert der   ist  :

Zeige

 

Sei   beliebig. Für   ist der Funktionswert kleiner gleich einem  

 

Für alle   liegt   in einem  , d.h. es gibt ein   mit

 

Dort ist der Funktionswert

 

und es folgt

 

Im Grenzwert folgt  .

Für   ist der Funktonswert für alle   größer  

 

und somit

 

Insgesamt ergibt sich

 

Eigenschaften von Funktionen aus P*Bearbeiten

Satz

Für   und   gilt

 

Beweis

Alle sind messbar gemäß dem letzten Kapitel und größer gleich Null.