Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Konstruktion messbarer Funktionen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

MotivationBearbeiten

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

Wo stehen wirBearbeiten

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien   Messräume. Wir definierten eine Abbildung   als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra   auf Mengen der Sigma-Algebra   abbildete. Es genügte, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Jetzt konstruieren wir uns durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Grenzwertbildung von numerischen Funktionen neue numerische Funktionen.

To-Do:

Andere Herleitung für Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division ?

Vergleich von Funktionen und MessbarkeitBearbeiten

Wir wollen messbare Funktionen vergleichen und sicherstellen, dass die resultierende Menge wieder messbar ist. Das ist der Fall, wie der folgende Hilfssatz zeigt.

Satz

Wir benötigen die Aussagen, wann der Vergleich von   und   wieder in   ist. Für   sind die folgenden Mengen messbar, d.h. wieder in der Sigma-Algebra.

 

Beweis

:

a) Wegen   und da die rationalen Zahlen   dicht liegen in  , existiert ein   das dazwischen liegt und umgekehrt

 

Rechts stehen zwei Bedingungen, die erfüllt sein müssen, das ist gleichwertig zu

 

Die Menge der  , für die das erfüllt ist, ist also

 

Rechts steht genau die Bedingung für die abzählbare Vereinigung über  , d.h.

 

Da abzählbare Vereinigungen und Schnitte wieder in   sind, folgt

 

b) Ganz analog mit vertauschten Rollen von   und   zeigt man

 

c) Wir haben schon in b) gezeigt, dass  . Da   abgeschlossen ist über Komplementbildung folgt

 

d) Wir haben schon in a) gezeigt, dass  . Da   abgeschlossen ist über Komplementbildung folgt

 

e) Wir haben in c) und d) gezeigt, dass  . Da   abgeschlossen ist unter Schnitten folgt

 

f) Wir haben gerade gezeigt, dass  . Da   abgeschlossen ist unter Komplementen folgt

 

Konstruktion neuer numerischer FunktionenBearbeiten

Wie bei den stetigen Funktionen konstruieren wir aus messbaren Funktionen neue messbare Funktionen.

Satz

  • Die konstante Funktion
     

    ist messbar.

  • Die Identität
     

    ist  -messbar.

  • Seien   numerischer Funktionen. Dann sind  ,   und   messbar, wenn sie definiert sind.

Beweis

1.):

Wir schauen mit   zurück nach   für das Erzeugendenssystem von  :

Ist   in  , so werden alle   auf   abgebildet.

Ist   nicht in  , so wird kein   auf   abgebildet, d.h. man landet mit   jeweils wieder in  .

 

Damit ist   messbar für beliebige  , da   in jeder Sigma-Algebra über   enthalten sind.

2.):

Erneut betrachten wir, ob   angewendet auf das Erzeugendensystem in   liegt. Das ist der Fall

 

und damit ist   messbar.

3.):

Wir verwenden die Ergebnisse des letzten Satzes des vorherigen Kapitels.

 

-g ist messbar: Sei   messbar. Ddann folgt für alle  

 

und   ist messbar.

g+c ist messbar: Sei   eine beliebige Konstante. Da für alle   gilt

 

ist   messbar.

f +- g ist messbar:   ist definiert genau dann wenn   nicht auftritt, d.h. für kein   erscheint  , in Formeln

 

Es gilt

 

Wir haben im vorherigen Satz gezeigt, dass für messbare   und   folgt

 

Somit ist   messbar, wenn es definiert ist.

Ganz analog für  .

f² ist messbar Sei   messbar. Dann gilt mit dem letzten Satz des vorherigen Kapitels  

 

und somit

 

f*g ist messbar   ist immer definiert. Es gilt die Gleichung

 

Die rechte Seite ist mit den oben gezeigten Bedingungen messbar.

To-Do:

Nehmen f,g gleichzeitig den Wert +- Unendlich an, so ist die rechte Seite nicht definiert. Nimm eine Fallunterscheidung vor, da sie danndas Produkt konstant ist und somit messbar.

1/g ist messbar:   ist definiert genau dann wenn  .

Ist   messbar und   definiert, so folgt wie oben für alle   mit dem letzten Satz des vorherigen Kapitels

 

Numerische Funktionen als GrenzwerteBearbeiten

Folgende Grenzwerte von Funktionenfolgen sind ebenfalls messbar. Da das Supremum   und das Infimum   werden kann, mussten wir in   rechnen.

Satz

Sind   messbar, so sind

 

messbar und

 

ist messbar, wenn es definiert ist.

Beweis

  sind messbar Nach Definition des Supremums und des Infimums gilt für alle  

 

und   und   sind messbar. Damit sind

 

als Verknüpfung von Supremum und Infimum messbar.

  ist messbar Wegen der Darstellung des Betrages als

 

ist mit den gezeigten Formeln auch der Betrag messbar. (Wir setzen alle gezeigten Beziehungen so langsam zusammen).

  ist messbar Gilt

 

so ist   definiert und messbar, da

 

Aufgabe 1: Messbare MengenBearbeiten

Aufgabe

Sei   eine Folge messbarer Funktionen. Zeige:

a)  .

Seien   gegeben.

b)  

c) Zeige  

Lösung

a) Alle Funktionen   sind größer gleich Null, lassen sich also problemlos summieren. Die Summe zweier messbarer Funktionen ist messbar. Durch Induktion ist auch die Summe endlich vieler Funktionen messbar. Wegen

 

und da auch der Grenzwert messbar ist, ist   messbar. Obige Menge lässt sich aber anders schreiben als

 

und das liegt in  .

b) Da   und   messbar sind, gilt mit obigen Satz

 

Das war der kurze Beweis mittels obiger Theorie. Zum Interesse zeigen wir noch den Weg ohne Theorie: Die Folge   hat in   einen Grenzwert, genau dann wenn sie Cauchy-Folge ist, d.h.

 

Da   messbar ist, ist  . Nun müssen wir die Cauchybedingung umschreiben zu

 

Die rechte Seite ist aber wieder in  .

c) Die Folge   hat in   den Grenzwert  , genau dann wenn gilt

 

Da   messbar ist, ist  . Nun müssen wir die Grenzwertbedingung umschreiben zu

 

Die rechte Seite ist aber wieder in  .

Aufgabe 2: Messbare FunktionenBearbeiten

Aufgabe

a) Zeige: Aus   messbar folgt nicht, dass   messbar ist.

b) Aus    -fast überall und   messbar folgt nicht   messbar.

Lösung

a) Setze   und

 

Für   gilt  , somit ist   nicht messbar.

  ist konstant und damit automatisch messbar.

b) Sei   Maßraum mit   und

 

Dann gilt

 

und   ist  -Nullmenge. D.h.    -fast überall.

  ist messbar als Indikatorfunktion auf  .

  ist nicht messbar, da