Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Integrierbare Funktionen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Motivation

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

Wo stehen wir

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien $(W,S),(V,T)$ Messräume. Wir definierten eine Abbildung $X:W\rightarrow V$ als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra $T$ auf Mengen der Sigma-Algebra $S$ abbildete. Es genügte, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Wir konstruierten uns durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Grenzwertbildung von numerischen Funktionen neue numerische Funktionen. Wir zeigten, dass sich alle nicht-negativen messbaren numerischen Funktionen $f:(W,S)\rightarrow ({\overline {\mathbb {R} }},{\overline {\mathbb {B} }})$ als Grenzwert einer monoton steigenden Folge von primitiven Funktionen darstellen lassen. Damit konnten wir das Integral einer nicht-negativen numerischen Funktion definieren als Grenzwert von Integralen primitiver Funktion. Wir bewiesen den Satz übr monotone Konvergenz: Ist die Folge der nicht-negativen, messbaren numerischen Funktionen $f_{n}\in P^{\ast }$ monoton steigend, so lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen.

Da wir das Integral nur für positive Funktionen eingeführt haben, zerlegen wir eine beliebige messbare Funktion $f$ in den Positivteil $f^{+}$ und den Negativteil $f^{-}$, sodass gilt $f=f^{+}-f^{-}$. Für beide Teile steht uns nun der Integralbegriff zur Verfügung. Als Integral von $f$ definieren wir dann einfach die Differenz aus dem Integral des Positivteiles und des Negativteiles $\int f^{+}-\int f^{-}$. Genau wie beim Riemannintegral bewerten wir den Negativteil der Funktion als negativen Beitrag zum Integral. Wir rechnen nach, dass dieses Integral linear und monoton ist.

Das Integral numerischer Funktionen

Definition

Jedes messbare $f:(W,S)\rightarrow ({\overline {\mathbb {R} }},{\overline {\mathbb {B} }})$ lässt sich zerlegen in messbaren Positivteil und Negativteil $f=f^{+}-f^{-}$ durch

${\begin{aligned}f^{+}:=&f\cdot 1_{f\geq 0}\\f^{-}:=&-f\cdot 1_{f<0}\end{aligned}}$

$f$ heißt integrierbar genau dann wenn

${\begin{aligned}\int f^{+}dm<&\infty \\\int f^{-}dm<&\infty \\\end{aligned}}$

Dann setzt man als Integral von $f=f^{+}-f^{-}$ die Differenz aus dem Integral des Positivteiles und dem Integral des Negativteiles

$\int fdm:=\int f^{+}dm-\int f^{-}dm$

Gleichwertige Bedingungen für Integrierbarkeit

Es gibt zwei hilfreiche äquivalente Bedingungen dafür, dass $f$ integrierbar ist.

Satz

Für messbare $f:W\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ sind gleichwertig:

1.) $f$ ist integrierbar.

2.) Es gibt eine integrierbare Funktion $g$, sodaß $|f|\leq g$

3.) $|f|$ ist integrierbar.

Beweis

$|f|$ ist messbar und es gilt $|f|=f^{+}+f^{-}$ (Beachte: hier steht ein Pluszeichen).

1.) $\Rightarrow$ 3.): Wegen

$0\leq f^{+},f^{-}\leq f^{+}+f^{-}=|f|$

folgt mit der Monotonie dea Integrales

${\begin{aligned}\int f^{+}dm\leq \int |f|dm{\stackrel {Vor}{<}}\infty \\\int f^{-}dm\leq \int |f|dm{\stackrel {Vor}{<}}\infty \end{aligned}}$

3.) $\Rightarrow$ 2.): Setze $g=|f|$. Dann gilt $|f|\leq g$ und g=

Linearität des Maßintegrales

Die integrierbaren Funktionen bilden einen Vektorraum und das Integral ist eine lineare Abbildung auf diesem Vektorraum.

Satz (Linearität des Maß-Integrals)

Seien $f,g$ integrierbar und $c\in \mathbb {R}$.

$cf,f+g,\max(f,g),\min(f,g)$ sind integrierbar und es gilt

${\begin{aligned}\int cfdm=&c\int fdm\\\int (f+g)dm=&\int fdm+\int gdm\end{aligned}}$

Beweis (Linearität des Maß-Integrals)

Alle angegebenen Funktionen sind messbar.

1.) Die integrierbaren Funktionen sind ein Vektorraum:

Aus $\int |f|dm<\infty$ folgt

$\int |cf|dm=\int |c||f|dm=|c|\int |f|dm<\infty$

und $cf$ ist integrierbar. Wegen

${\begin{aligned}|\max(f,g)|\leq &\max(|f|,|g|)\leq |f|+|g|\\|\min(f,g)|\leq &\min(|f|,|g|)\leq |f|+|g|\\|f+g|\leq &|f|+|g|\end{aligned}}$

und wegen

${\begin{aligned}\int (|f|+|g|)dm\leq \int |f|dm+\int |g|dm<\infty \end{aligned}}$

sind alle angegebenen Funktionen integrierbar.

2.) Linearität des Integrales: Wir machen für $c$ eine Fallunterscheidung.

$c>0$: Wegen $(cf)^{+}=cf^{+}$ und $(cf)^{-}=cf^{-}$ gilt

$\int (cf)dm=\int cf^{+}dm-\int cf^{-}dm=c\int f^{+}dm-c\int f^{-}dm=c\int fdm$

$c<0$: Wegen

$cf=c(f^{+}-f^{-})=(-c)f^{-}-(-c)f^{+}$

gilt, da man nicht-negative Skalare mit dem Integral vertauschen kann,

${\begin{aligned}\int cfdm=&\int (-c)f^{-}dm-\int (-c)f^{+}dm\\=&-c\int f^{-}dm-(-c)\int f^{+}dm\\=&c\left(\int f^{+}dm-\int f^{-}dm\right)\\=&c\int fdm\end{aligned}}$

$c=0$:

$\int cfdm=\int 0dm=0=0\cdot \int fdm$

Addition: Wegen

$f+g=f^{+}+g^{+}-(f^{-}+g^{-})$

gilt

${\begin{aligned}\int (f+g)dm=&\int (f^{+}+g^{+})dm-\int (f^{-}+g^{-})dm\\=&\int f^{+}dm+\int g^{+}dm-\int f^{-}dm-\int g^{-}dm\\=&\int fdm+\int gdm\end{aligned}}$

Monotonie des Integrales

Satz

Das Maß-Integral ist monoton: Seien $f,g$ integrierbar.

a) Aus $f\leq g$ folgt

${\begin{aligned}\int fdm\leq \int gdm\end{aligned}}$

b)

$\left|\int fdm\right|\leq \int |f|dm$

Beweis

:

Da $f\leq g$ gilt

${\begin{aligned}f^{+}\leq &g^{+}\\f^{-}\geq &g^{-}\end{aligned}}$

Es folgt

${\begin{aligned}\int fdm=&\int f^{+}dm-\int f^{-}dm\\{\stackrel {f^{+}\leq g^{+}}{\leq }}&\int g^{+}dm-\int f^{-}dm\\{\stackrel {f^{-}\geq g^{-}}{\leq }}&\int g^{+}dm-\int g^{-}dm=\int gdm\end{aligned}}$

:

$-f$ und $|f|$ sind integrierbar. Wegen

${\begin{aligned}f\leq &|f|\\-f\leq &|f|\end{aligned}}$

gilt

${\begin{aligned}\int fdm\leq &\int |f|dm\\-\int fdm=&\int -fdm\leq \int |f|dm\end{aligned}}$

d.h.

$\left|\int fdm\right|\leq \int |f|dm$

Aufgabe 1: Nullmenge

Aufgabe (Eigenschaften integrierbarer Funktionen)

Sei $f:(X,S,m)\rightarrow (\mathbb {R} ,\mathbb {B} )$ nichtnegativ und integrierbar. Dann gilt $m(\{w\in W:f(w)=\infty \})=0$

Wenn $f=\infty$ auf einer Menge mit Maß größer Null wäre, so würde das ganze Integral unendlich werden.

Wie kommt man auf den Beweis? (Eigenschaften integrierbarer Funktionen)

Wähle eine Menge $A$ und betrachte $\int 1_{A}fdm$.

Lösung (Eigenschaften integrierbarer Funktionen)

Es gilt mit $A:=\{w\in W:f(w)=\infty \}$

$\infty >\int fdm\geq \int 1_{A}fdm=\int 1_{A}\cdot \infty dm=\infty \cdot m(A)$

Das ist nur erfüllt für $m(A)=0$

Aufgabe 2: Sigma-Endlichkeit

Aufgabe (Eigenschaften integrierbarer Funktionen)

Sei $f:(W,S,m)\rightarrow (\mathbb {R} ,\mathbb {B} )$ integrierbar. Zeige dass $W\backslash f^{-1}(0)$ sigma-endlich ist.

Man nimmt die Urbildmenge der Null heraus, da nach Konvention $0\cdot \infty =0$. Das Maß kann endlich oder unendlich auf der Menge $\{w\in W:\ f(w)=0\}$ sein, für den Wert des Integral $\int fdm$ spielt das keine Rolle, für $m$ schon.

Wie kommt man auf den Beweis? (Eigenschaften integrierbarer Funktionen)

Suche eine einfache aufsteigende Folge von Mengen. Da $f$ integrierbar ist, ist das Maß der Megen mit $|f|\geq 1$ bestimmt endlich (sonst wäre das Integral unendlich). Probleme kann es also nur geben, wo $|f|$ kleine Werte annimmt.

Lösung (Eigenschaften integrierbarer Funktionen)

Es gilt mit $A_{n}=\left({\frac {1}{n}},\infty \right)$

$\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=(0,\infty ).$

und somit

$\bigcup _{n\in \mathbb {N} }|f|^{-1}\left(A_{n}\right)=|f|^{-1}\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)=W\backslash f^{-1}(0).$

Betrachte für die Sigma-Endlichkeit nun die $|f|^{-1}(A_{n})$. Wegen

$|f|\geq |f|\cdot 1_{f^{-1}\left({\frac {1}{n}},\infty \right)}$

gilt

${\begin{aligned}\infty >&\int |f|dm\geq \int |f|\cdot 1_{f^{-1}\left({\frac {1}{n}},\infty \right)}dm\\\geq &{\frac {1}{n}}\cdot m\left(|f|^{-1}\left({\frac {1}{n}},\infty \right)\right)\end{aligned}}$

und die $|f|^{-1}(A_{n})$ sind die gesuchten Mengen.

Aufgabe 3: Monotonie

Aufgabe

Sei $f,h:(W,S,m)\rightarrow (\mathbb {R} ,\mathbb {B} )$ integrierbar und

$\forall E\in S:\ \int 1_{E}fdm\geq \int 1_{E}hdm$

Dann folgt $f\geq h$ $m$-fast überall.

Wie kommt man auf den Beweis?

Es gilt nach Voraussetzung für alle $E\in S$. Nun schreibt man die Ungleichung um zu

$\forall E\in S:\ \int 1_{E}(f-h)dm\geq 0$

und wählt genau die passende Menge $E$, die in der Sigma-Algebra ist, da $f-h$ messbar ist.

Lösung

Wähle $A=\{w\in W:f(w)-h(w)<0\}$. Da $f,h$ messbar sind, ist $f-h$ messbar und $A\in S$. Da beide integrierbar sind, ist die Differenz integrierbar. Auf der Menge $A$ ist $(f-h)<0$ und somit

${\begin{aligned}\int 1_{A}\underbrace {(f-h)} _{<0}dm\geq &0\\m(A)=&0\end{aligned}}$

Somit gilt $f\geq h$ $m$-fast überall.