Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Fast überall geltende Eigenschaften – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Motivation

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

Wo stehen wir

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien $(W,S),(V,T)$ Messräume. Wir definierten eine Abbildung $X:W\rightarrow V$ als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra $T$ auf Mengen der Sigma-Algebra $S$ abbildete. Es genügte, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Wir konstruierten uns durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Grenzwertbildung von numerischen Funktionen neue numerische Funktionen. Wir zeigten, dass sich alle nicht-negativen messbaren numerischen Funktionen $f:(W,S)\rightarrow ({\overline {\mathbb {R} }},{\overline {\mathbb {B} }})$ als Grenzwert einer monoton steigenden Folge von primitiven Funktionen darstellen lassen. Damit konnten wir das Integral einer nicht-negativen numerischen Funktion definieren als Grenzwert von Integralen primitiver Funktion. Wir bewiesen den Satz übr monotone Konvergenz: Ist die Folge der nicht-negativen, messbaren numerischen Funktionen $f_{n}\in P^{\ast }$ monoton steigend, so lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen. Wir haben das Integral für numerische Funktionen eingeführt als Differenz des Integrals des Positivteiles und des Negativteiles und nachgerechnet, dass dieses Integral linear und monoton ist. Wir zeigten den Satz über majorisierte Konvergenz: Wenn es eine integrierbare Majorante gibt, lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen. In diesem Kapitel zeigen wir, dass die Funktionen, die $m$-fast sicher Null sind, einen Vektorraum bilden

m-fast überall

Definition

Sei (W,S,m) ein Maßraum. Eine Eigenschaft E gilt $m$-fast überall genau dann wenn

${\begin{aligned}1.)&\ \exists N\in S:m(N)=0\\2.)&\ \{w\in W:{\text{ E gilt nicht für w}}\}\subset N\end{aligned}}$

Das Integral bemerkt nicht Funktionswerte auf Nullmengen

Der folgende Satz zeigt, warum beim Integrieren die Voraussetzungen nur $m$-fast überall gelten müssen. Das Maß und somit das Integral bemerken die Nullmenge nicht.

Satz

Seien $f,g:(W,S)\rightarrow (\mathbb {R} ,\mathbb {B} )$ integrierbar und $f=g\ m-$fast überall. Dann sind die Integrale gleich

$\int fdm=\int gdm$

Beweis

Wir beweisen als erstes für das Maß, dass es Unterschiede auf Nullmengen nicht bemerkt, dann zeigen wir die Behauptung für die Indikatorfunktion, dann für primitve Funktionen, dann für nicht-negative messbare Funktionen und dann für integrierbare Funktionen.

0.) Das Maß Für alle messbaren $A\in S$ und Nullmengen $N\in S$ bemerkt das aditive, monotone $m$ einen Unterschied auf der Nullmenge $A\cap N$ nicht,

${\begin{aligned}0\leq &m(A\cap N){\stackrel {Monotonie}{\leq }}m(N)=0\\A=&(A\cap N)\uplus (A\cap N^{C})\\m(A)=&m(A\cap N)+m(A\cap N^{C})\\=&m(A\cap N^{C})\end{aligned}}$

'1.) Indikatorfunktion:

Wir verwenden nun mit $1\cdot 0=0\cdot 0=0$, dass gilt

${\begin{aligned}1_{A}(w)1_{N^{C}}(w)&={\begin{cases}1&{\text{ für }}w\in A\\0&{\text{ sonst }}\\\end{cases}}\cdot {\begin{cases}1&{\text{ für }}w\in N^{C}\\0&{\text{ sonst }}\\\end{cases}}\\=&{\begin{cases}1&{\text{ für }}w\in A\cap N^{C}\\0&{\text{ sonst }}\\\end{cases}}\\=1_{A\cap N^{C}}\end{aligned}}$

Sei $N$ eine Nullmenge und $A\in S$ messbar. Dann gilt

${\begin{aligned}\int 1_{A}dm=&m(A)=m(A\cap N^{C})\\=&\int 1_{A\cap N^{C}}dm=\int 1_{A}\cdot 1_{N^{C}}dm\end{aligned}}$

Seien $1_{A},1_{B}$ zwei Indikatorfunktionen, die $m$-fast überall gleich sind, d.h.

$1_{A}\cdot 1_{N^{C}}=1_{B}\cdot 1_{N^{C}}.$

Da $1_{A},1_{B}$ messbar sind, ist

$N:=\{1_{A}\neq 1_{B}\}\in S$

messbar. Nach Voraussetzung gilt

${\begin{aligned}m(N)=m(\{1_{A}\neq 1_{B}\})=0\end{aligned}}$

Damit sind die Integrale von $1_{A}$ und $1_{B}$ gleich

$\int 1_{A}dm=\int 1_{A}1_{N^{C}}dm=\int 1_{B}1_{N^{C}}dm=\int 1_{B}dm$

2.) primitive Funktionen Seien $u=\sum _{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i}},v=\sum _{i=1}^{m}b_{i}1_{B_{i}}$ zwei primitive Funktionen, die $m$-fast sicher gleich sind, d.h. in Formeln

${\begin{aligned}m(\{u\neq v\})=0\\u\cdot 1_{N^{C}}=v\cdot 1_{N^{C}}.\end{aligned}}$

Dann ist für das Integral nur der Wert der $u$ auf $N^{C}$ relevant, der Wert auf $N$ kann Null oder beliebig gesetzt werden! Wir haben die Behauptung gerade für Indikatorfunktionen gezeigt und beweisen sie nun für primitive Funktionen mit der Linearität des Integrales

${\begin{aligned}\int \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i}}\right)1_{N^{C}}dm=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\int 1_{A_{i}}1_{N^{C}}dm=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\int 1_{A_{i}}dm=\int \sum _{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i}}dm\end{aligned}}$

Damit sind die Integrale von $u$ und $v$ gleich

$\int \sum _{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i}}dm=\int \sum _{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i}}1_{N^{C}}dm=\int \sum _{i=1}^{m}b_{i}1_{B_{i}}1_{N^{C}}dm=\int \sum _{i=1}^{m}b_{i}1_{B_{i}}dm$

3.) nicht-negative messbare Funktionen: Zu zwei $f,g\in P^{\ast }$ gibt es monoton steigende Folgen primitiver Funktionen $(u_{n})_{n},(v_{n})_{n}$ mit $\lim _{n\rightarrow \infty }u_{n}=f,\lim _{n\rightarrow \infty }v_{n}=g$. Setze wieder $N=\{f\neq g\}$. Dann ist für das Integral nur der Wert von $f$ auf $N^{C}$ relevant, der Wert auf $N$ kann Null oder beliebig gesetzt werden!

$u_{n}1_{N^{C}}$ und $v_{n}1_{N^{C}}$ gehen monoton steigend gegen $f\cdot 1_{N^{C}}$ bzw. $g\cdot 1_{N^{C}}$. Damit gilt

${\begin{aligned}\int fdm=&\lim _{n\rightarrow \infty }\int u_{n}dm=\lim _{n\rightarrow \infty }\int u_{n}1_{N^{C}}dm=\int f1_{N^{C}}dm\end{aligned}}$

Mit der Voraussetzung, dass $f$ und $g$ auf $N^{C}$ übereinstimmen, d.h. $1_{N^{C}}f=1_{N^{C}}g$ , folgt

${\begin{aligned}\int fdm=\int f1_{N^{C}}dm=\int g1_{N^{C}}dm=\int gdm\end{aligned}}$

4.) integrierbare Funktionen: Seien $f,g$ integrierbar und $m$-fast sicher gleich mit $N=\{f\neq g\}$. Dann sind $f^{+},g^{+}\in P^{\ast }$ und gleich auf $N^{C}$ und mit 3.) gilt

${\begin{aligned}\int f^{+}dm=\int f^{+}1_{N^{C}}dm=\int g^{+}1_{N^{C}}dm=\int g^{+}dm\end{aligned}}$

Dasselbe gilt für $f^{-}$ und $g^{-}$. Damit folgt für das Integral

$\int fdm=\int f^{+}dm-\int f^{-}dm=\int g^{+}dm-\int g^{-}dm=\int gdm$

Wann das Integral Null wird

Satz

Sei $f:(W,S)\rightarrow ({\overline {\mathbb {R} }},{\overline {\mathbb {B} }})$ . Dann gilt

$\int |f|dm=0\iff f=0\ m-{\text{ fast überall}}$

Beweis

$\Leftarrow$: Mit $|f|=0$ $m$-fast überall gilt

$\int |f|dm=\int 0dm=0$

$\Rightarrow$: Auf der wegen des messbaren $f$ messbaren Menge $\{|f|\geq 1/n\}=\{n|f|\geq 1\}\in S$ gilt automatsch $n|f|\geq 1$. Damit lässt sich das Maß der Menge mit dem Integral berechnen zu Null mit der Monotonie

${\begin{aligned}m\left(\left\{|f|\geq {\frac {1}{n}}\right\}\right)=&\int 1_{\{|f|\geq {\frac {1}{n}}\}}dm\\{\stackrel {n|f|\geq 1}{\leq }}&\int n|f|1_{\{|f|\geq {\frac {1}{n}}\}}dm\leq \int n|f|dm\\=&n\int |f|dm=0\end{aligned}}$

Die abzählbare Vereinigung der Mengen $\{f\geq 1/n\}$ ist wieder eine Nullmenge und genau die Menge $\{f\neq 0\}$

$\{f\neq 0\}=\{|f|>0\}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\left\{f\geq {\frac {1}{n}}\right\}$

und

$m(\{|f|>0\})=m\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }\left\{f\geq {\frac {1}{n}}\right\}\right)\leq \sum _{n=1}^{\infty }m\left(\left\{f\geq {\frac {1}{n}}\right\}\right)=0$

Damit ist $f$ $m$-fast sicher Null.

Die Funktionen, die fast überall Null sind, sind ein Vektorraum

Satz

Die Menge der messbaren Funktionen, die fast überall Null sind,

${\begin{aligned}N:=\{f:W\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}{\text{ messbar}}:f=0{\text{ m-fast überall}}\}\end{aligned}}$

ist ein Vektorraum.

Beweis

Die Funktion $0:W\rightarrow \mathbb {R}$ ist $m$-fast überall Null und somit in $N$.

a) Sei $c=0$: Da $cf=0$ gilt

$m(cf\neq 0)=m(0\neq 0)=m(\emptyset )=0$

Sei $c\neq 0$: Dann gilt

${\begin{aligned}m(cf\neq 0){\stackrel {c\neq 0}{=}}m(f\neq 0)=0\end{aligned}}$

Damit sind auch Multiplikationen mit Skalaren wieder in $N$.

b) Seien $f,g\in N$.

Aus $f+g\neq 0$ folgt $f\neq 0$ oder $g\neq 0$ und damit

$\{f+g\neq 0\}\subset \{f\neq 0\}\cup \{g\neq 0\}$

Das ergibt

$m(f+g\neq 0)\leq m(f\neq 0)+m(g\neq 0)=0$

und Summe sind wieder in $N$.