Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Dynkinsysteme – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

In der Maßtheorie wollen wir Mengen eine Länge, eine Fläche oder ein Volumen zuordnen. Unser Ziel ist, später die "guten" Mengen durch abzählbar viele Intervalle, Rechtecke oder Quader "minimal" zu überdecken und damit die Länge, die Fläche oder das Volumen der "guten" Menge zu bestimmen.

Wir hatten in den letzten Kapiteln die endlichen disjunkten Vereinigungen der Rechtecke betrachtet: diese bilden einen Ring (mit $A,B\in R$ sind auch $\emptyset ,A\cup B,A\backslash B\in R$). Ihnen konnten wir eindeutig eine Fläche zuordnen. Wenn ihre abzählbare Vereinigung wieder die Form einer endlichen disjunkten Vereinigung von Rechtecken hat und ihre Fläche die abzählbare Summe der Einzelflächen ist, in mathematischer Schreibweise

${\begin{aligned}{\text{Fläche }}\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=&\sum _{i=1}^{\infty }{\text{Fläche }}(A_{i})\end{aligned}}$

dann nannten wir die Mengenfunktion sigma-additiv. Wir haben gezeigt, dass die Sigma-Additivität (fast) gleich bedeutend ist zur Stetigkeit von oben oder von unten der Flächenfunktion.

Wir haben uns das System der "guten" Mengen definiert als Sigma-Algebra (dort gilt mit $A_{n}\in S$ sind auch $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n},A_{n}^{C},\emptyset \in S$) und sigma-additive Maße darauf betrachtet.

Im Kapitel über sigma-additive Funktionen hatten wir in den Beweisen für die Eigenschaften jeweils disjunkte Vereinigungen konstruiert, um die (Sigma-)Additivität von $m$ benutzen zu können. Jetzt betrachten wir ein Mengensystem, das automatisch nur disjunkte (!) abzählbare Vereinigungen enthält, sodass die Sigma-Additivität der Flächenfunktion direkt anwendbar wird.

Das benötigen wir regelmäßig für Beweise, insbesondere für den Maßerweiterungssatz im nächsten Kapitel.

Definition (Dynkinsystem)

Das Mengensystem $D\subset Pot(W)$ heißt Dynkinsystem genau dann wenn

1. Die Grundmenge ist in $D$: $W\in D$
2. Komplemente sind wieder in $D$: Aus $A\in D$ folgt $A^{C}\in D$
3. Disjunkte (!) abzählbare Vereinigungen sind wieder in $D$: Aus $\forall n\in \mathbb {N} :\ A_{n}\in D$ folgt $\biguplus _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D$

Insbesondere ist $Pot(W)$ ein Dynkinsystem.

Beweis

Da $Pot(W)$ alle Teilmengen von $W$ umfasst, ergeben sich die Eigenschaften eines Dynkinsytems automatisch.

${\begin{aligned}W\in Pot(W)&\\A\in Pot(W)\Rightarrow &A^{C}\in Pot(W)\\\forall n\in \mathbb {N} :\ A_{n}\in Pot(W)\Rightarrow &\biguplus _{n=1}^{\infty }A_{n}\in Pot(W)\end{aligned}}$

Aufgabe (Mögliche Dynkinsysteme)

Bestimme alle Dynkinsysteme der Menge $\{0,1,2,3\}$.

Was fällt auf im Vergleich zu den erzeugten Sigma-Algebren?

Wie kommt man auf den Beweis? (Mögliche Dynkinsysteme)

Überlege, welche Mengen in JEDEM Dynkinsytem sind und dann nimm einzelne Mengen schrittweise hinzu, um komplexere Dynkinsysteme zu konstruieren.

Lösung (Mögliche Dynkinsysteme)

Die leere Menge $\emptyset$ und die gesamte Menge $\{0,1,2,3\}$ sind in jedem Dynkinsystem wegen der Definition und der Komplementbildung.

Nun nehmen wir die Menge $\{0\}$ hinzu, und schauen, welches Dynkinsytem sich ergibt. Analog ergibt sich für $\{1\},\{2\}$ und $\{3\}$ ein anderes Dynkinsystem.

Dann nehmen wir zwei der Einpunktmengen hinzu und betrachten das erzeugte Dynkinsystem.

Analog nehmen wir drei Einpunktmengen hinzu.

Nun schauen wir noch, ob sich aus den Zweipunktmengen und Dreipunktmengen mit dem selben Verfahren verschiedene Sigma-Algebren ergeben.

Das einfachste Dynkinsystem ist

$\{\emptyset ,\{0,1,2,3\}\}$

Wegen der Komplementbildung ergeben sich mit den Einpunktmengen 4 neue Dynkinsysteme

${\begin{aligned}\{\emptyset ,\{0\},\{1,2,3\},\{0,1,2,3\}\}\\\{\emptyset ,\{1\},\{0,2,3\},\{0,1,2,3\}\}\\\{\emptyset ,\{2\},\{0,1,3\},\{0,1,2,3\}\}\\\{\emptyset ,\{3\},\{0,1,2\},\{0,1,2,3\}\}\end{aligned}}$

Mit Komplementbildung und disjunkter Vereinigung ergeben sich mit zwei Einpunktmengen 6 neue Dynkinsysteme

${\begin{aligned}\{\emptyset ,\{0\},\{1\},\{0,1\},\{2,3\},\{1,2,3\},\{0,2,3\},\{0,1,2,3\}\}\\\{\emptyset ,\{0\},\{2\},\{0,2\},\{1,3\},\{1,2,3\},\{0,1,3\},\{0,1,2,3\}\}\\\{\emptyset ,\{0\},\{3\},\{0,3\},\{1,2\},\{1,2,3\},\{0,1,2\},\{0,1,2,3\}\}\\\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{1,2\},\{0,3\},\{0,1,3\},\{0,2,3\},\{0,1,2,3\}\}\\\{\emptyset ,\{1\},\{3\},\{1,3\},\{0,2\},\{0,1,2\},\{0,2,3\},\{0,1,2,3\}\}\\\{\emptyset ,\{2\},\{3\},\{2,3\},\{0,1\},\{0,1,2\},\{0,1,3\},\{0,1,2,3\}\}\end{aligned}}$

Mit drei Einpunktmengen ist durch ihre disjunkte Vereinigung und das Komplement auch die vierte Einpunktmenge enthalten, das ergibt über die disjunkte Vereinigung die Potenzmenge

${\begin{aligned}\{\emptyset ,\{0\},\{1\},\{2\},\{3\},\{0,1\},\{0,2\},\{0,3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\\\{0,1,2\},\{0,1,3\},\{0,2,3\},\{1,2,3\},\{0,1,2,3\}\}\end{aligned}}$

Mit einer Zweipunktmenge erhalten wir durch Komplementbildung 3 neue Dynkinsysteme

${\begin{aligned}\{\emptyset ,\{0,1\},\{2,3\},\{0,1,2,3\}\}\\\{\emptyset ,\{0,2\},\{1,3\},\{0,1,2,3\}\}\\\{\emptyset ,\{0,3\},\{1,2\},\{0,1,2,3\}\}\\\end{aligned}}$

Mit zwei komplementären Zweipunktmengen erhalten wir dasselbe.

Für $\{0,1\},\{1,2\}$ erhalten wir durch disjunkte Vereinigung nichts Neues (!) aber durch Komplementbildung das neue Dynkinsystem (dieses Mal keine Sigma-Algebra!)

$\{\emptyset ,\{0,1\},\{0,3\},\{1,2\},\{2,3\},\{0,1,2,3\}\}$

und analog die 2 neuen Dynkinsysteme (dieses Mal keine Sigma-Algebra!) durch Komplementbildung

${\begin{aligned}\{\emptyset ,\{0,1\},\{1,3\},\{0,2\},\{2,3\},\{0,1,2,3\}\}\\\{\emptyset ,\{0,2\},\{1,2\},\{1,3\},\{0,3\},\{0,1,2,3\}\}\end{aligned}}$

Für drei Zweipunktmengen ist eine automatisch komplementär zu einer der anderen und wir erhalten obige Systeme.

(Im Folgenden entstehen keine neuen Dynkinsystemem, die Fälle müssen trotzdem geprüft werden.)

Aus der einelementigen $\{0\}$ und der zweielementigen Menge $\{0,1\}$ergibt sich durch Komplementbildung

${\begin{aligned}\{\emptyset ,\{0\},\{0,1\},\{2,3\},\{1,2,3\},\{0,1,2,3\}\}\\\end{aligned}}$

und wieder mit Vereinigung und Komplementbildung das Dynkinsystem

${\begin{aligned}\{\emptyset ,\{0\},\{1\},\{0,1\},\{2,3\},\{0,2,3\},\{1,2,3\},\{0,1,2,3\}\}\end{aligned}}$

Das hatten wir schon oben bestimmt. Es ist das von $\{0\}$ und $\{1\}$ erzeugte.

Aus der einelementigen $\{0\}$ und der disjunkten zweielementigen $\{2,3\}$ Menge ergibt sich durch Komplementbildung

${\begin{aligned}\{\emptyset ,\{0\},\{0,1\},\{2,3\},\{1,2,3\},\{0,1,2,3\}\}\\\end{aligned}}$

und wieder mit Vereinigung und Komplementbildung das Dynskinsystem

${\begin{aligned}\{\emptyset ,\{0\},\{1\},\{0,1\},\{2,3\},\{0,2,3\},\{1,2,3\},\{0,1,2,3\}\}\end{aligned}}$

Das hatten wir schon oben bestimmt. Es ist das von $\{0\}$ und $\{1\}$ erzeugte.

Wir testen noch zwei einelementige Elemente und eine disjunkte zweielementige Menge, d.h. $\{0\},\{1\},\{2,3\}$. Aus $\{0\},\{1\}$ ergibt sich wegen disjunkter Vereinigung $\{0,1\}$ und Komplementbildung $\{2,3\}$, d.h. das ist das von $\{0\},\{1\}$ erzeugte Dynkinsystem von oben.

Wir testen noch zwei einelementige Elemente und eine nicht-disjunkte zweielementige Menge, d.h. $\{0\},\{1\},\{1,2\}$. Mit disjunkter Vereinigung und Komplementbildung ergibt sich

${\begin{aligned}\{\emptyset ,\{0\},\{1\},\{0,1\},\{1,2\},\{2,3\},\{0,3\},\{0,1,2\},\{1,2,3\},\{0,2,3\},\{0,1,2,3\}\}\end{aligned}}$

weiter mit Komplementbildung ergibt sich

${\begin{aligned}\{\emptyset ,\{0\},\{1\},\{3\},\{0,1\},\{1,2\},\{2,3\},\{0,3\},\{1,2,3\},\{0,2,3\},\{0,1,2,3\}\}\end{aligned}}$

und das enthält schon drei einelementige Mengen wie oben und ergibt die Potenzmenge.

Wir testen noch zwei zweielementige Elemente und eine disjunkte einelementige Menge, d.h. $\{0\},\{1,2\},\{2,3\}$. Durch disjunkte Vereinigung

${\begin{aligned}\{\emptyset ,\{0\},\{1,2\},\{2,3\},\{0,1,2\},\{0,2,3\},\{0,1,2,3\}\}\\\end{aligned}}$

und Komplementbildung ergibt sich

${\begin{aligned}\{\emptyset ,\{0\},\{1\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{0,1,2\},\{0,2,3\},\{0,1,2,3\}\}\\\end{aligned}}$

und damit die Potenzmenge, da drei einpunktige Mengen enthalten sind.

Wir testen noch zwei zweielementige Elemente und eine nicht-disjunkte einelementige Menge, d.h. $\{0\},\{0,1\},\{2,3\}$. Durch disjunkte Vereinigung und Komplementbildung ergibt sich

${\begin{aligned}\{\emptyset ,\{0\},\{1\},\{0,1\},\{2,3\},\{0,2,3\},\{0,1,2,3\}\}\\\end{aligned}}$

Das ergibt das von den Einpunktmengen $\{0\}$ und $\{1\}$ erzeugte Dynkinsystem.

Wir testen noch zwei zweielementige Elemente und eine zu beiden nicht-disjunkte einelementige Menge, d.h. $\{0\},\{0,1\},\{0,2\}$. Durch disjunkte Vereinigung entsteht nichts Neues, Komplementbildung und darauffolgende disjunkte Vereinigung ergibt

${\begin{aligned}\{\emptyset ,\{0\},\{0,1\},\{2,3\},\{0,2\},\{1,3\},\{1,2,3\},\{0,2,3\},\{0,1,3\},\{0,1,2,3\}\}\\\end{aligned}}$

Komplementbildung ergibt, dass die drei einelementigen Mengen $\{0\},\{1\}$ und $\{2\}$ enthalten sind und das ergibt dann die Potenzmenge.

Aus dreielementigen Mengen entstehen durch Komplementbildung dieselben Dynkinsysteme wie aus einelementigen Mengen, und diese haben wir oben schon bestimmt.

Jetzt haben wir alle gesuchten Dynkinsysteme gefunden. Drei davon sind keine Sigma-Algebra, alle oben gefundenen Sigma-Algebren sind Dynkinsysteme, was wir unten allgemein beweisen.

Erneut suchen wir das kleinste Dynkinsystem, dazu benötigen wir wieder den folgenden Satz.

Satz (Der Schnitt von Dynkinsystemen)

Seien $\forall j\in J:\ D_{j}$ Dynkinsysteme. Dann ist der Schnitt

$D:=\bigcap _{j\in J}D_{j}$

wieder ein Dynkinsystem.

Beweis (Der Schnitt von Dynkinsystemen)

Seien $\forall i\in \mathbb {N} :\ A_{i}\in D=\bigcap _{j\in J}D_{j}$.

Da $D$ der Schnitt ist, sind die $A_{i}$ in allen $D_{j}$ enthalten:

$\forall i\in \mathbb {N} \ \forall j\in J:A_{i}\in D_{j}$

Da alle $D_{j}$ Dynkinsysteme sind, gilt

${\begin{aligned}\forall j\in J:\ &W\in D_{j}\\\forall j\in J:\ &A_{i}^{C}\in D_{j}\\\forall j\in J:\ &\biguplus _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\in D_{j}\end{aligned}}$

Da $D$ der Schnitt der $D_{j}$ ist, sind die erzeugten Mengen wieder in $D$ enthalten

${\begin{aligned}W\in &\bigcap _{j\in J}D_{j}\\A_{i}^{C}\in &\bigcap _{j\in J}D_{j}\\\biguplus _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\in &\bigcap _{j\in J}D_{j}\end{aligned}}$

Definition (Das erzeugte Dynkinsystem)

Sei $E\subset Pot(W)$ ein beliebiges (!) Mengensystem und seien $(D_{j})_{j\in J}$ alle Dynkinsysteme über $W$, die $E$ enthalten. Dann heißt

$D(E)=\bigcap _{j\in J}D_{j}$

das von $E$ erzeugte Dynkinsystem. Es ist das kleinste Dynkinsystem über $W$, das $E$ enthält.

Beweis

Wir haben gerade gezeigt, dass $Pot(W)$ ein Dynkinsystem ist. Dieses enthält $E$. Damit ist der Schnitt nicht leer

$J\neq \emptyset$.

Wir haben im vorherigen Satz gezeigt, dass der Schnitt von Dynkinsystemen wieder ein Dynkinsystem ist. Zudem enthalten alle Dynkinsysteme, über die geschnitten wird, $E$. Damit ist $D(E)$ ein Dynkinsystem, das $E$ enthält und eines der $D_{k}$, über die rechts geschnitten wird.

$D(E)=D_{k}$

Als Schnitt ist $D(E)$ das kleinste solche, d.h.

Aufgabe (Erzeugte Dynkinsysteme)

Seien $A,B\subset W$. Bestimme das erzeugte Dynkinsystem.

Wie kommt man auf den Beweis? (Erzeugte Dynkinsysteme)

Unterscheide die Fälle $A\cap B=\emptyset ,A\subset B$ und sonst.

Lösung (Erzeugte Dynkinsysteme)

a) $A\cap B=\emptyset$: $D=\{\emptyset ,A,B,A^{C},B^{C},A\uplus B,A^{C}\cap B^{C}W\}$ Es ist eine neue disjunkte Vereinigung möglich (und dann ihr Komplement).

b) $A\subset B$: $D=\{\emptyset ,A,B,A^{C},B^{C},A\uplus B^{C},A^{C}\cap B,W\}$ Es ist eine neue disjunkte Vereinigung möglich (und dann ihr Komplement).

c) sonst: $D=\{\emptyset ,A,B,A^{C},B^{C},W\}$ Es sind keine neuen disjunkten Vereinigungen möglich

Das Dynkinsystem ist angepasst an die sigma-additiven Funktionen. Es stellt aber eine starke Einschränkung dar, nur disjunkte Vereinigungen zuzulassen. Gilt aber zudem die Eigenschaft, dass Schnitte wieder im Dynkinsystem sind können wir ausrechnen, dass auch beliebige, nicht-disjunkte Vereinigungen im Dynkinsystem sind. Dieses ist dann eine Sigma-Algebra. Deshalb führen wir den folgenden Begriff ein:

Definition (Durchschnittsstabilität)

Das Mengensystem $M\subset Pot(W)$ heißt durchschnittsstabil genau dann wenn

$\forall A,B\in M:\ A\cap B\in M$

Satz (Eigenschaften von Dynkinsystemen)

1. Ist $S$ Sigma-Algebra, so ist $S$ ein Dynkinsystem
2. $D(E)\subset S(E)$
3. Ist $D$ ein Dynkinsystem und durchschnittsstabil, so ist $D$ eine Sigma-Algebra.
4. Ist $D(E)$ durchschnittsstabil, so gilt $D(E)=S(E)$

Beweis (Eigenschaften von Dynkinsystemen)

1.) Seien $A_{i}\in S$ disjunkt. $\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}$ ist nach Definition eine abzählbare Vereinigung und somit wieder in der Sigma-Algebra.

Damit ist jede Sigma-Algebra ein Dynkinsystem.

2.) $S(E)$ ist nach 1.) ein Dynkinsystem, das $E$ enthält.

$E\subset S(E)$

$D(E)$ ist das kleinste solche Dynkinsystem, d.h.

$D(E)\subset S(E)$

3.) Wir müssen eine beliebige Vereinigung als Vereinigung disjunkter Mengen darstellen und dafür endliche Schnitte und Komplemente verwenden:

Eine zweifache Vereinigung lässt sich schreiben als die Elemente in $A_{1}$ und die Elemente in $A_{2}$, die nicht in $A_{1}$ liegen:

$A_{1}\cup A_{2}=A_{1}\uplus (A_{2}\cap A_{1}^{C})$

Eine dreifache Vereinigung lässt sich schreiben als die Elemente in $A_{1}$, als die Elemente in $A_{2}$, die nicht in $A_{1}$ liegen und also die Elemente in $A_{3}$, die nicht in $A_{1}$ oder $A_{2}$ liegen

$A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}=A_{1}\uplus (A_{2}\cap A_{1}^{C})\uplus (A_{3}\cap A_{1}^{C}\cap A_{2}^{C})$

Eine $n$-fache Vereinigung lässt sich disjunkt schreiben als

$\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\uplus \biguplus _{i=2}^{n}\left(A_{i}\cap \bigcap _{j=1}^{i-1}A_{j}^{C}\right)$

Eine abzählbare Vereinigung lässt sich disjunkt schreiben als

$\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}=\biguplus _{i=1}^{\infty }\underbrace {\left(A_{i}\cap \bigcap _{j=1}^{i-1}A_{j}^{C}\right)} _{\in D{\text{ nach Vor.}}}\in D$

4.) Da $D(E)$ durchschnittsstabiles Dynkinsystem ist, das $E$ enthält, ist es nach 1.) eine Sigma-Algebra, die $E$ enthält.

$S(E)$ ist die kleinste Sigma-Algebra die E enthält, d.h.

$S(E)\subseteq D(E)$

Die andere Inklusion gilt nach 2.) allgemein, sodass die Gleichheit folgt

$S(E)=D(E)$

Es genügt sogar zu fordern, dass nur das Erzeugendensystem durchschnittsstabil ist, um aus dem Dynkinsystem eine Sigma-Algebra zu machen! Und unser später betrachtetes Erzeugendensytsem eines Ringes ist durchschnittsstabil.

Satz (Eigenschaften von Dynkinsystemen)

Ist $E$ durchschnittsstabil, so gilt

$D(E)=S(E)$

Beweis (Eigenschaften von Dynkinsystemen)

$D(E)\subset S(E)$: gilt allgemein.

$D(E)\supset S(E)$:

Mit dem letzten Satz müssen wir nach 2.) zeigen, dass $D(E)$ durchschnittsstabil ist.

Anschaulich suchen wir also alle Mengen, für die der Schnitt wieder in $D(E)$ ist.

Setze für ein beliebiges $B\in D(E)$ dazu

$D_{B}:=\{Q\subset W:Q\cap B\in D(E)\}$

d.h. in $D_{B}$ sind alle Mengen, die nach Schnitt mit $B$ in $D(E)$ liegen

a) $D_{B}$ ist ein Dynkinsystem:

Wir rechnen einfach die Eigenschaften nach:

1.)

Wegen

$W\cap B=B\in D(E)$

gilt $W\in D_{B}$,

2.)

Sei $A\in D_{B}$ beliebig. Wegen der Definition von $D_{B}$ und da Komplemente wieder im Dynkinsystem $D(E)$ sind gilt

${\begin{aligned}A\in D_{B}{\stackrel {{\text{Def }}D_{B}}{\iff }}&A\cap B\in D(E)\\\iff &(A\cap B)^{C}\in D(E)\\\iff &A^{C}\cup B^{C}\in D(E)\end{aligned}}$

Wegen der Darstellung

${\begin{aligned}A^{C}\cap B=(A^{C}\cup B^{C})\cap B\end{aligned}}$

und da die rechte Seite nach der Definition in $D_{B}$ ist, folgt

${\begin{aligned}A^{C}\in D_{B}\end{aligned}}$

3.) Seien $A_{i}\in D_{B}$ disjunkt. Mit der Definition von $D_{B}$ und da $D(E)$ als Dynkinsystem abgeschlossenen gegenüber disjunkten abzählbaren Vereinigungen ist, gilt

${\begin{aligned}A_{i}\in D_{B}{\stackrel {{\text{Def }}D_{B}}{\iff }}&A_{i}\cap B\in D(E)\\\iff &\biguplus _{i=1}^{\infty }(A_{i}\cap B)\in D(E)\\\iff &\left(\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\cap B=\biguplus _{i=1}^{\infty }(A_{i}\cap B)\in D(E)\\\end{aligned}}$

Mit der Definition von $D_{B}$ ist das genau die Bedingung dafür, dass die disjunkte Vereinigung der $A_{i}$ in $D_{B}$ ist

${\begin{aligned}\biguplus _{i=1}^{\infty }A_{i}\in D_{B}\end{aligned}}$

b) Zeige $D(E)\subset D_{B}$: Das Ziel ist, dass $D(E)$ durchschnittsstabil ist. Wenn für ein beliebiges $B\in D(E)$ der Schnitt mit allen anderen Elemente aus $D(E)$ wieder in $D_{B}$ ist, ist genau das erfüllt.

Seien also $C_{1},C\in E$ beliebig.

Da das Erzeugendensystem durchschnittsstabil ist, gilt

$C_{1}\cap C\in E$

Das ergibt mit der Definition von $D_{C}$

${\begin{aligned}&\forall C_{1}\in E:\ C\cap C_{1}\in E\subset D(E)\\{\stackrel {{\text{Def }}D_{C}}{\Rightarrow }}&\forall C_{1}\in E:\ C_{1}\in D_{C}\\\iff &E\subset D_{C}\\\end{aligned}}$

Da $D_{C}$ ein Dynkinsystem ist, das $E$ enthält und $D(E)$ das kleinste Dynkinsystem ist, das $E$ enthält, folgt

${\begin{aligned}D(E)\subset D_{C}\end{aligned}}$

Da auch $C\in E$ beliebig gewählt war, folgt mit der Definition von $D_{C}$ und $D_{B}$

${\begin{aligned}&\forall C\in E:\ D(E)\subset D_{C}\\\iff &\forall C\in E\ \forall B\in D(E):\ B\in D_{C}\\{\stackrel {{\text{Def }}D_{C}}{\Rightarrow }}&\forall C\in E\ \forall B\in D(E):\ B\cap C\in D(E)\\{\stackrel {{\text{Def }}D_{B}}{\Rightarrow }}&\forall C\in E\ \forall B\in D(E):\ C\in D_{B}\\\iff &\forall B\in D(E)\forall C\in E\ :\ C\in D_{B}\\\iff &\forall B\in D(E):E\subset D_{B}\\\end{aligned}}$

Dabei hat man geschickt die Definition von $D_{B}$ und $D_{C}$ nacheinander ausgenutzt.

Da wir bewiesen haben, dass $D_{B}$ ein Dynkinsystem ist, hier gerade sehen, dass $E\subset D_{B}$ und da $D(E)$ das kleinste Dynkinsystem ist, das $E$ enthält folgt mit der Definition von $D_{B}$

${\begin{aligned}{\stackrel {D(E){\text{ kleinste}}}{\Longrightarrow }}&\forall B\in D(E):\ D(E)\subset D_{B}\\\iff &\forall B\in D(E),\forall A\in D(E):A\in D_{B}\\{\stackrel {{\text{Def von}}D_{B}}{\Rightarrow }}&\forall A,B\in D(E):A\cap B\in D(E)\end{aligned}}$

Damit sind Schnitte zweier Mengen aus $D(E)$ wieder in $D(E)$ und es folgt insgesamt

$S(E)=D(E)$