Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Die Umkehrabbildung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Motivation

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

Wo stehen wir

Sei $X:W\rightarrow V$ gegeben und $S$ eine Sigma-Algebra auf $W$ und $T$ eine Sigma-Algebra auf $V$. Wann "vermittelt" die Abbildung $X^{-1}:Pot(V)\rightarrow Pot(W)$ zwischen den Sigma-Algebren? Das heißt, wann bildet sie alle Elemente der Ziel-Sigma-Algebra $T$ auf Elemente der Ursprungs-Sigma-Algebra $S$ ab? Um diese Frage zu beantworten, benötigen wir die Eigenschaft der Abbildung $X^{-1}$ mit verschiedenen Mengenrelationen zu vertauschen.

Definition von $X^{-1}$

Definition (Die Abbildung $X^{-1}$)

Sei $X:W\rightarrow V$ gegeben. Die Abbildung

$X^{-1}:Pot(V)\rightarrow Pot(W),A\mapsto \{w\in W:X(w)\in A\}$

ordnet jeder Teilmenge $A$ aus dem Zielraum $V$ ihre ursprünglichen Elemente aus dem Ursprungsraum zu. .

Beispiel zu $X^{-1}$

Beispiel

Sei $X:W\rightarrow V$ gegeben. Sei $W=\{w_{1},w_{2},w_{3}\},V=\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\}$ und $w_{i}$ werde auf $v_{i}$ abgebildet, so gilt

${\begin{aligned}X^{-1}(\{v_{1},v_{2}\})=&\{w\in W:X(w)\in \{v_{1},v_{2}\}\}\\=&\{w_{1},w_{2}\}\end{aligned}}$

Werden von $X$ zwei verschiedene $w_{1},w_{2}$ von $W=\{w_{1},w_{2},w_{3}\}$ auf dasselbe $v_{1}$ abgebildet, das dritte $w_{3}$ aber auf $v_{2}$ so gilt

${\begin{aligned}X^{-1}(\{v_{1}\})=&\{w\in W:X(w)\in \{v_{1}\}\}\\=&\{w\in W:X(w)=v_{1}\}\}\\=&\{w_{1},w_{2}\}\end{aligned}}$

Die $v_{i}\in V$, die nicht von $X$ getroffen werden, sind unerheblich. Nimmt man $v_{4}$ hinzu, so ändert sich nichts

${\begin{aligned}X^{-1}(\{v_{1},v_{4}\})=&\{w\in W:X(w)\in \{v_{1},v_{4}\}\}\\=&\{w\in W:X(w)=v_{1}\}\\=&\{w_{1},w_{2}\}\end{aligned}}$

$X^{-1}$ vertauscht mit Mengenoperationen

Satz (Die Abbildung $X^{-1}$ vertauscht mit Mengenoperationen)

Sei $X:W\rightarrow V$ gegeben. Ein $w$ wird von $X$ in die Menge $A\in V$ abgebildet genau dann wenn es in $X^{-1}(A)$ liegt

${\begin{aligned}w\in X^{-1}(A)\iff X(w)\in A\\w\not \in X^{-1}(A)\iff X(w)\not \in A\end{aligned}}$

Die Abbildung $X^{-1}$ vertauscht mit der Komplementbildung, beliebigen (disjunkten) Vereinigungen, beliebigem Schnitt und der Enthaltenrelation. In Formeln

${\begin{aligned}X^{-1}(B^{C})=(X^{-1}(B))^{C}\\X^{-1}\left(\bigcup _{i\in I}B_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}X^{-1}(B_{i})\\X^{-1}\left(\bigcap _{i\in I}B_{i}\right)=\bigcap _{i\in I}X^{-1}(B_{i})\\X^{-1}\left(\biguplus _{i\in I}B_{i}\right)=\biguplus _{i\in I}X^{-1}(B_{i})\\{\text{Aus }}B_{1}\subset B_{2}{\text{ folgt }}X^{-1}(B_{1})\subset X^{-1}(B_{2})\end{aligned}}$

und es gilt

$X^{-1}(V)=W$

1.) Irgendwohin muss $X$ abbilden. Wenn es in $B^{C}$ abbildet, also in nicht in $B$, dann kann es nicht von $X^{-1}(B)$ gekommen sein. Da bleibt nur das Komplement $(X^{-1}(B))^{C}$.

2.) Betrachten wir die $B_{i}$ und wählen ein $v$ in der Vereinigung $\bigcup _{i\in I}B_{i}$, so muss das $v$ in mindestens einem der $B_{i}$ liegen. Schaue ich also mit $X^{-1}$ zurück, welche $w\in W$ auf $v$ abgebildet wurden, so sind diese in $X^{-1}(B_{i})$. Wenn ich alle solchen $v$ erfassen will, muss ich alle $B_{i}$ der Vereinigung abdecken und rechts die Vereinigung der $X^{-1}(B_{i})$ wählen.

3.) Wählt man ein $v$ im Schnitt der $\bigcap _{i\in I}B_{i}$, so ist $v$ Element von allen $B_{i}$. Die von $X$ auf $v$ abgebildeten $w_{j}$ sind also in allen $X^{-1}(B_{i})$ enthalten, somit im Schnitt $\bigcap _{i\in I}X^{-1}(B_{i})$.

4.) Wie 2.), nur dass $v$ in genau einem $B_{i}$ liegt und damit die $w_{j}$, die von $X$ auf $v$ abgebildet wurden, auch in genau einem $X^{-1}(B_{i})$ liegen.

5.) Wenn $v$ in $B_{1}$ liegt, schaut $X^{-1}$ welche $w_{j}$ auf $v$ abgebildet werden. Diese werden aber insbesondere auch in $B_{2}\supseteq B_{1}$ abgebildet, sind also in $X^{-1}(B_{2})$

6.) $X$ bildet von $W$ nach $V$ ab. Jedes $w$ landet also in $V$. Schaut man zurück mit $X^{-1}$ von $V$, so erhält man alle $w$ in $W$.

Beweis (Die Abbildung $X^{-1}$ vertauscht mit Mengenoperationen)

Da nach Definition

$X^{-1}(A)=\{w\in W:X(w)\in A\}$

folgt

$w\in X^{-1}(A)\iff w\in \{w\in W:X(w)\in A\}\iff X(w)\in A$

Verneinung ergibt

$w\not \in X^{-1}(A)\iff w\not \in \{w\in W:X(w)\in A\}\iff X(w)\not \in A$

1.:

Da wir $V$ als disjunkte Vereinigung $V=B\uplus B^{C}$ schreiben können, gilt

${\begin{aligned}w\in X^{-1}(B^{C})\iff &X(w)\in B^{C}\\\iff &X(w)\not \in B\end{aligned}}$

Mit der obigen Aussage

$w\not \in X^{-1}(B)\iff X(w)\not \in B$

folgt, da wir $W$ als disjunkte Vereinigung $W=X^{-1}(B)\uplus X^{-1}(B)^{C}$ schreiben können

${\begin{aligned}w\in X^{-1}(B^{C})\iff &X(w)\not \in B\\\iff &w\not \in X^{-1}(B)\\\iff &w\in (X^{-1}(B))^{C}\end{aligned}}$

2.):

$X(w)$ liegt nach Definition in der Vereinigung $\bigcup _{i\in I}B_{i}$ genau dann wenn es ein $i$ gibt, sodass $X(w)$ in $B_{i}$ liegt.

$w$ liegt nach Definition in der Vereinigung $\bigcup _{i\in I}X^{-1}(B_{i})$ genau dann wenn es ein $i$ gibt, sodass $w$ in $X^{-1}(B_{i})$ liegt.

Wir benutzen obige Aussage

$w\in X^{-1}(A)\iff X(w)\in A$

und erhalten

${\begin{array}{rcccl}w\in X^{-1}\left(\bigcup _{i\in I}B_{i}\right)&\iff &X(w)\in \bigcup _{i\in I}B_{i}&\iff &\exists i:\ X(w)\in B_{i}\\&\iff &\exists i:\ w\in X^{-1}(B_{i})&\iff &w\in \bigcup _{i\in I}X^{-1}(B_{i})\end{array}}$

3.):

$X(w)$ liegt nach Definition im Schnitt $\bigcap _{i\in I}B_{i}$ genau dann wenn $X(w)$ in allen $B_{i}$ liegt.

$w$ liegt nach Definition im Schnitt $\bigcap _{i\in I}X^{-1}(B_{i})$ genau dann wenn $w$ in allen $X^{-1}(B_{i})$ liegt.

Wir benutzen obige Aussage

$w\in X^{-1}(A)\iff X(w)\in A$

und erhalten

${\begin{array}{rcccl}w\in X^{-1}\left(\bigcap _{i\in I}B_{i}\right)&\iff &X(w)\in \bigcap _{i\in I}B_{i}&\iff &\forall i:\ X(w)\in B_{i}\\&\iff &\forall i:\ w\in X^{-1}(B_{i})&\iff &w\in \bigcap _{i\in I}X^{-1}(B_{i})\end{array}}$

4.):

Der Beweis läuft ganz analog zu 2.):

$X(w)$ liegt nach Definition in der disjunkten Vereinigung $\bigcup _{i\in I}B_{i}$ genau dann wenn es genau ein $i$ gibt, sodass $X(w)$ in $B_{i}$ liegt.

$w$ liegt nach Definition in der disjunkten Vereinigung $\bigcup _{i\in I}X^{-1}(B_{i})$ genau dann wenn es genau ein $i$ gibt, sodass $w$ in $X^{-1}(B_{i})$ liegt. Wir benutzen obige Aussage

$w\in X^{-1}(A)\iff X(w)\in A$

und erhalten (das Ausrufezeichen bedeutet "genau ein")

${\begin{array}{rcccl}w\in X^{-1}\left(\biguplus _{i\in I}B_{i}\right)&\iff &X(w)\in \biguplus _{i\in I}B_{i}&\iff &\exists !\ i:\ X(w)\in B_{i}\\&\iff &\exists !\ i:\ w\in X^{-1}(B_{i})&\iff &w\in \biguplus _{i\in I}X^{-1}(B_{i})\end{array}}$

5.):

Wir benutzen obige Aussage

$w\in X^{-1}(A)\iff X(w)\in A$

und erhalten direkt

${\begin{aligned}w\in X^{-1}(B_{1})\Rightarrow &X(w)\in B_{1}\subset B_{2}\\\Rightarrow &X(w)\in B_{2}\\\Rightarrow &w\in X^{-1}(B_{2})\end{aligned}}$

6.):

Da $X$ eine Abbildung von $W$ nach $V$ ist, wird jedes $w$ in $V$ abgebildet, in Formeln

$\forall w\in W\ :\ X(w)\in V$

Wir benutzen obige Aussage

$w\in X^{-1}(A)\iff X(w)\in A$

und erhalten

${\begin{aligned}&\forall w\in W\ :\ X(w)\in V\\\Rightarrow &\forall w\in W:w\in X^{-1}(V)\\\Rightarrow &W\subset X^{-1}(V)\end{aligned}}$

Da die Elemente, die nach $V$ abgebildet wurden, nur aus $W$ stammen können, folgt

$W=X^{-1}(V)$