Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Der Raum L¹ – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Motivation

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

Wo stehen wir

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien $(W,S),(V,T)$ Messräume. Wir definierten eine Abbildung $X:W\rightarrow V$ als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra $T$ auf Mengen der Sigma-Algebra $S$ abbildete. Es genügte, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Wir konstruierten uns durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Grenzwertbildung von numerischen Funktionen neue numerische Funktionen. Wir zeigten, dass sich alle nicht-negativen messbaren numerischen Funktionen $f:(W,S)\rightarrow ({\overline {\mathbb {R} }},{\overline {\mathbb {B} }})$ als Grenzwert einer monoton steigenden Folge von primitiven Funktionen darstellen lassen. Damit konnten wir das Integral einer nicht-negativen numerischen Funktion definieren als Grenzwert von Integralen primitiver Funktion. Wir bewiesen den Satz übr monotone Konvergenz: Ist die Folge der nicht-negativen, messbaren numerischen Funktionen $f_{n}\in P^{\ast }$ monoton steigend, so lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen. Wir haben das Integral für numerische Funktionen eingeführt als Differenz des Integrals des Positivteiles und des Negativteiles und nachgerechnet, dass dieses Integral linear und monoton ist. Wir zeigten den Satz über majorisierte Konvergenz: Wenn es eine integrierbare Majorante gibt, lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen. Die Funktionen, die $m$-fast sicher Null sind, bilden einen Vektorraum.

Wir wollen auf dem Vektorraum der integrierbaren Funktionen mit dem Integral eine Norm konstruieren, also einen Begriff, wann zwei Funktionen "nahe beieinander" sind. Wir hatten im letzten Kapitel gesehen, dass das Integral $m$-fast überall gleiche Funktionen nicht unterscheiden kann. Solche Funktionen müssen wir in eine gemeinsame Klasse packen und "gleich" bzw. äquivalent nennen, damit die Norm auch wirklich zwei verschiedene Funktionen unterscheiden kann. Praktisch ist dabei, dass die Funktionen, die m-fast überall Null sind, einen Vektorraum bilden was wir im letzten Kapitel gezeigt haben. Wir erhalten einen neuen normierten Vektorraum $L^{1}$ aus Klassen, bei denen wir zu einer Funktion f alle möglichen Funktionen addieren, die $m$-fast überall Null sind. Wir zeigen, dass dieser normierte Raum vollständig ist, d.h. jede Cauchyfolge hat einen Grenzwert. Als Letztes betrachten wir den Unterschied zwischen punktweiser Konvergenz und Konvergenz in L¹ und wann diese übereinstimmen.

Die integrierbaren Funktionen sind ein Vektorraum

Satz

Die Menge der integrierbaren Funktionen

${\tilde {L}}^{1}:=\left\{f:(W,S)\rightarrow (\mathbb {R} ,\mathbb {B} ):\int |f|dm<\infty \right\}$

ist ein Vektorraum.

Beweis

Das haben wir schon gezeigt im vorvorletzten Kapitel über integrierbare Funktionen.

Die Normeigenschaften sind fast erfüllt

Satz

Für die Abbildung

$\parallel \cdot \parallel _{1}:{\tilde {L}}^{1}\rightarrow [0,\infty ),f\mapsto \int |f|dm$

gilt

${\begin{aligned}\parallel f+g\parallel _{1}\leq &\parallel f\parallel _{1}+\parallel g\parallel _{1}\\\parallel cf\parallel _{1}=&|c|\parallel f\parallel _{1}\end{aligned}}$

Für die Norm fehlt also nur die Eigenschaft

$\parallel f\parallel _{1}=0\iff f=0$

Beweis

:

Da $0\leq \int |f|dm<\infty$ ist $\parallel f\parallel _{1}=\int |f|dm$ definiert. Wegen $|f+g|\leq |f|+|g|$ und der Monotonie des Integrales gilt

${\begin{aligned}\parallel f+g\parallel _{1}=&\int |f+g|dm\leq \int (|f|+|g|)dm\\=&\int |f|dm+\int |g|dm\\=&\parallel f\parallel _{1}+\parallel g\parallel _{1}\end{aligned}}$

Da man Integral und einen Skalar vertauschen kann, gilt

${\begin{aligned}\parallel cf\parallel _{1}=&\int |cf|dm=|c|\int |f|dm=|c|\parallel f\parallel _{1}\end{aligned}}$

$L^{1}$ ist ein normierter Vektorraum

Satz

a) Mit dem Untervektorraum von ${\tilde {L}}^{1}$ der Funktionen, die $m$-fast überall Null sind,

${\begin{aligned}N:=&\left\{f\in {\tilde {L}}^{1}:\int |f|dm=0\right\}\\=&\{f=0{\text{ m-fast überall}}\}\end{aligned}}$

b) definieren wir einen neuen Vektorraum, indem wir zu jedem $f\in {\tilde {L}}^{1}$ alle möglichen Funktionen addieren, die $m$-fast sicher Null sind.

${\begin{aligned}L^{1}:=\{\{f+n:n\in N\}:f\in {\tilde {L}}^{1}\}\end{aligned}}$

Dabei definieren wir die Mengen $\{f+n:n\in N\}$ und $\{g+n:n\in N\}$ als gleich, wenn sich $f$ und $g$ nur um einen Summanden aus $N$ unterscheiden

${\begin{aligned}\{f+n:n\in N\}=\{g+n:n\in N\}\iff &\exists n\in N:f=g+n\\\iff &f=g{\text{ m-fast überall}}\\\end{aligned}}$

Wir wählen als abkürzende Schreibweise: $f=\{f+n:n\in N\}$.

c) Jetzt haben wir alle Funktionen in eine Klasse gepackt, die das Integral sowieso nicht unterscheiden kann. Und damit kann das Integral verschiedenen Klassen auseinanderhalten: Mit

$\parallel \cdot \parallel _{1}:L^{1}\rightarrow [0,\infty ),f\mapsto \int |f|dm$

wird $L^{1}$ zu einem normierten Vektorraum.

Beweis

a):

Im letzten Kapitel über fast überall geltende Eigenschaften haben wir gezeigt

$f=0{\text{ m-fast überall}}\iff \int |f|dm=0$

Mathe_für_Nicht-Freaks:_Fast_überall_geltende_Eigenschaften Zudem haben wir dort gezeigt, dass die folgende linke Menge ein Vekotrraum ist

$\{f=0{\text{ m-fast überall}}\}=\{f\in {\tilde {L}}^{1}:\int |f|dm=0\}$

Die rechte Menge ist in ${\tilde {L}}^{1}$ und somit ein Untervektorraum.

b):

Wir überprüfen die Rechenregeln des Gleichheitszeichens in $L^{1}$, d.h. wir rechnen nach

${\begin{aligned}f=f\\f=g\Rightarrow g=f\\f=g,g=h\Rightarrow f=h\end{aligned}}$

$f=f$: Mit der Nullfunktion, die in $N$ ist, gilt $f=f+0$

$f=g\Rightarrow g=f$: Gelte $f=g+n$. Da die Funktionen, die $m$-fast sicher Null sind, ein Vektorraum sind, ist auch $-n\in N$ und es gilt

$g=f+(-n)$

$f=g,g=h\Rightarrow f=h$: Gelte

${\begin{aligned}f=&g+n_{1}\\g=&h+n_{2}\end{aligned}}$

Da die Funktionen, die $m$-fast sicher Null sind, einen Vektorraum bilden, ist auch $n_{1}+n_{2}\in N$ und es gilt

${\begin{aligned}f=&h+\underbrace {(n_{1}+n_{2})} _{\in N}\\\{f+n:n\in N\}=&\{h+n:n\in N\}\end{aligned}}$

Wir benutzen nun die Vektorraum-Eigenschaften von $N$ und ${\tilde {L}}^{1}$ um ganz einfach nachzurechnen, dass $L^{1}$ ein Vektorraum ist. Seien $f,g\in {\tilde {L}}^{1},n,n_{1},n_{2}\in N$ und $c\in \mathbb {R}$, dann gilt

${\begin{aligned}0+n=&\underbrace {0} _{\in {\tilde {L}}^{1}}+\underbrace {n} _{\in N}\\f+n_{1}+g+n_{2}=&\underbrace {f+g} _{\in {\tilde {L}}^{1}}+\underbrace {n_{1}+n_{2}} _{\in N}\\c(f+n)=&\underbrace {cf} _{\in {\tilde {L}}^{1}}+\underbrace {cn} _{\in N}\end{aligned}}$

und die rechten Seiten sind wieder in $L^{1}$! Damit ist $L^{1}$ ein Vektorraum mit

${\begin{aligned}\{f+n:n\in N\}+\{g+n:n\in N\}:=&\{f+g+n:n\in N\}\\c\cdot \{f+n:n\in N\}:=&\{cf+n:n\in N\}\end{aligned}}$

c):

$\parallel \cdot \parallel _{1}$ ist definiert, da

$\forall f\in L^{1}:0\leq \int |f|dm<\infty$.

Sei $f\in L^{1}$ und $n\in N$. Da ${\tilde {L}}^{1}$ ein Vektorraum ist, gilt

${\begin{aligned}\parallel f\parallel _{1}=&\parallel f+n-n\parallel _{1}\leq \parallel f+n\parallel _{1}+\underbrace {\parallel n\parallel _{1}} _{=0}\\\leq &\parallel f\parallel _{1}+\underbrace {\parallel n\parallel _{1}} _{=0}=\parallel f\parallel _{1}\end{aligned}}$

Wegen

$\forall f\in {\tilde {L}}^{1}\forall n\in N:\ \parallel f+n\parallel _{1}=\parallel f\parallel _{1}$

ist $\parallel \cdot \parallel _{1}$ unabhängig vom Vertreter aus $L^{1}$ und damit erst definiert.

$\parallel \cdot \parallel _{1}$ ist eine Norm: Da $f,n_{1},g,n_{2}\in {\tilde {L}}^{1}$ und ${\tilde {L}}^{1}$ ein Vektorraum ist, gilt $f+n_{1},g+n_{2}\in {\tilde {L}}^{1}$. Wir haben schon gezeigt

${\begin{aligned}\parallel c(f+n_{1})\parallel _{1}=&|c|\parallel f+n_{1}\parallel _{1}\\\parallel f+n_{1}+g+n_{2}\parallel _{1}\leq &\parallel f+n_{1}\parallel _{1}+\parallel g+n_{2}\parallel _{1}\end{aligned}}$

Jetzt fehlt nur die Eindeutigkeit der Null $\{0+n\}$: Mit dem Ergebnis des letzten Kapitels gilt

${\begin{aligned}\parallel f+n_{1}\parallel _{1}=0\iff &\parallel f\parallel _{1}=0\iff \int |f|dm=0\\\iff &f=0{\text{ m-fast überall }}\end{aligned}}$

Diese $L^{1}$-Norm sagt uns, wann zwei Funktionen nahe beieinander sind. Wir definieren den Grenzwert von Folgen bzgl. DIESER Norm wie üblich als

Definition

Seien $f_{n},f\in L^{1}$. Die Folge $(f_{n})_{n}$ geht gegen $f$ in $L^{1}$ genau dann wenn

$\lim _{n\rightarrow \infty }\parallel f-f_{n}\parallel _{1}=0$

$L^{1}$ ist vollständig

Wir benötigen einen Hilfssatz, um die Vollständigkeit von $L^{1}$ zu zeigen (d.h. zu zeigen, dass jede Cauchyfolge einen Grenzwert hat).

Satz

Ist $(f_{n})_{n}$ eine Cauchyfolge in $L^{1}$, so existiert eine Teilfolge $(f_{n_{k}})_{k}$ und ein $f\in L^{1}$ mit

$f_{n_{k}}\rightarrow f{\text{ m-fast sicher}}$

Beweis

Die Idee ist, zu $f_{n_{1}}$ ein immer späteres passendes $f_{n_{k}}-f_{n_{1}}$ hinzuzuaddieren.

Da $(f_{n})_{n}$ eine Cauchyfolge ist, gilt: Für alle $k$ in $\mathbb {N}$ gibt es eine natürliche Zahl $n_{k}$, sodass für alle natürlichen Zahlen $n,m\geq n_{k}$ der Abstand (in der $L^{1}$-Norm) der Funktionen $f_{n}$ und $f_{m}$ kleiner als ${\frac {1}{2^{k}}}$ wird, in Formeln

$\forall k\geq 1\ \exists n_{k}\in \mathbb {N} \ \forall n,m\geq n_{k}:\ \parallel f_{n}-f_{m}\parallel _{1}\leq {\frac {1}{2^{k}}}$

Wir summieren die Abstände gleich auf, deshalb wählen wir sie sehr schnell fallend mit ${\frac {1}{2^{k}}}$. Wähle zudem $n_{k+1}\geq n_{k}$ für alle $k\in \mathbb {N}$. Da im Folgenden die Terme größer gleich Null sind, lassen sich abzählbare Summe und Integral vertauschen

${\begin{aligned}\left\|\sum _{k=1}^{\infty }|f_{n_{k+1}}-f_{n_{k}}|\right\|_{1}=&\int \sum _{k=1}^{\infty }\underbrace {|f_{n_{k+1}}-f_{n_{k}}|} _{\geq 0}dm=\sum _{k=1}^{\infty }\int |f_{n_{k+1}}-f_{n_{k}}|dm\\=&\sum _{k=1}^{\infty }\parallel f_{n_{k+1}}-f_{n_{k}}\parallel _{1}\\\leq &\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}=1<\infty \end{aligned}}$

Damit folgt, dass die Summe in L^1 ist und daher insbesondere nur auf einer Nullmenge den Wert Unendlich annehmen kann! (Sonst wäre der Wert des Integrales Unendlich).

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }|f_{n_{k+1}}-f_{n_{k}}|\in &L^{1}\\\sum _{k=1}^{\infty }|f_{n_{k+1}}-f_{n_{k}}|<&\infty {\text{ m-fast sicher.}}\end{aligned}}$

Damit hat die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }(f_{n_{k+1}}-f_{n_{k}})\in L^{1}$ auch $m$-fast sicher einen Grenzwert. Die Folge der endlichen Summen hat also m-fast über all einen Grenzwert und lässt sch schreiben als

$\sum _{k=1}^{j}(f_{n_{k+1}}-f_{n_{k}})=f_{n_{j+1}}-f_{n_{1}}$

Damit hat die Teilfolge $(f_{n_{k}})_{k}\ m$-fast überall einen Grenzwert. Setze nun

$f:={\begin{cases}\lim _{k\rightarrow \infty }f_{n_{k}}=\sum _{k=1}^{\infty }(f_{n_{k+1}}-f_{n_{k}})+f_{n_{1}}&{\text{wenn der Grenzwert existiert}}\\0&{\text{sonst}}\\\end{cases}}$

Da $f_{n_{1}}\in L^{1}$ gilt

$f\in L^{1}$

Satz

$L^{1}$ ist vollständig, d.h. jede $L^{1}$-Cauchyfolge hat einen Grenzwert in $L^{1}$.

Beweis

Wir haben gezeigt: Eine Cauchyfolge in $L^{1}$ hat eine Teilfolge, die einen Grenzwert $f$ hat. Damit hat sie selbst den Grenzwert $f$.

Punktweise und $L^{1}$ Grenzwerte

Nun vergleichen wir die zwei Grenzwertbegriffe Konvergenz in $L^{1}$ und $m$-fast überall.

Satz

Seien $f_{n}:(W,S,m)\rightarrow (\mathbb {R} ,\mathbb {B} )$ mit $\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}=f\ m$-fast überall und es sei $|f_{n}|\leq g\ m$-fast überall mit $g\in L^{1}$. Dann gilt

${\begin{aligned}f\in &L^{1}\\\lim _{n\rightarrow \infty }\parallel f-f_{n}\parallel _{1}=&0\end{aligned}}$

$f$ bleibt in $L^{1}$ durch die Schranke $g$ für alle $|f_{n}|$.

Beweis

Da $g$ integrierbar und $|f_{n}|\leq g$ sind $f_{n},\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}\ m$-fast überall integrierbar. Definiere gemäß den Voraussetzungen die folgenden Nullmengen

${\begin{aligned}N:=&\{w\in W:f_{n}\not \rightarrow f\}\\N_{n}:=&\{w\in W:|f_{n}|>g\}\\M:=&N\cup \bigcup _{n=1}^{\infty }N_{n}\end{aligned}}$

Dabei ist $M$ als abzählbare Vereinigung von Nullmengen eine Nullmenge

${\begin{aligned}0\leq &m(M)=m\left(N\cup \bigcup _{n=1}^{\infty }N_{n}\right)\\\leq &m(N)+\sum _{n=1}^{\infty }m(N_{n})=0\end{aligned}}$

Auf dem Komplement von $M$ gilt punktweise

${\begin{aligned}1_{M^{C}}|\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}|\leq &g1_{M^{C}}\\1_{M^{C}}|f_{n}-\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}|\leq &2g1_{M^{C}}\end{aligned}}$

Da $g1_{M^{C}}$ integrierbar ist, folgt mit dem Satz über majorisierte Konvergenz

${\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }\int |f-f_{n}|dm=&\lim _{n\rightarrow \infty }\int |f-f_{n}|1_{M^{C}}dm\\=&\int \lim _{n\rightarrow \infty }|f-f_{n}|1_{M^{C}}dm\\=&\int 01_{M^{C}}dm=\int 0dm=0\end{aligned}}$

Beispiel 1

Beispiel

Aus $\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}=f$ m-fast überall und $f\in L^{1}$ folgt nicht $\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}=f$ in $L^{1}$.

Beweis

Sei $W=[0,1],S=\mathbb {B} |_{[0,1]},m=l$, d.h. wir schränken die Borelsche Sigma-Algebra und das Lebesguemaß auf $[0,1]$ ein. Wir definieren die Funktionen

$f_{n}:([0,1],\mathbb {B} |_{[0,1]})\rightarrow (\mathbb {R} ,\mathbb {B} ),t\mapsto n^{2}1_{(0,{\frac {1}{n}}]}(t)$

die auf immer kleineren Intervallen schnell immer größer werden. Damit geht die Menge $\{f\neq 0\}$ zwangsläufig gegen die Nullmenge $\emptyset$. Das Integral ist aber die Fläche unter der Funktion. Wenn die Funktion nun schneller steigt, als das Intervall schrumpft, geht die Fläche gegen Unendlich.

$\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}=0$

aber

${\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }\parallel f_{n}-f\parallel _{1}=&\lim _{n\rightarrow \infty }\int |f_{n}-f|dm\\=&\lim _{n\rightarrow \infty }n^{2}l\left(\left[0,{\frac {1}{n}}\right]\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }n=\infty \end{aligned}}$

Punktweise geht $(f_{n})_{n}$ gegen die $0$-Funktion, aber das Integral geht gegen $\infty$.

Ein Grenzwertsatz

Satz

Seien $f,f_{n}\in P^{\ast }$ integrierbar und

${\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}=&f{\text{ m-fast überall}}\\\lim _{n\rightarrow \infty }\int f_{n}dm=&\int fdm\end{aligned}}$

Wir fordern also, dass auch die Integral konvergieren. Dann gilt $f_{n}\rightarrow f$ in $L^{1}$, d.h.

$\lim _{n\rightarrow \infty }\int |f_{n}-f|dm=0$

Beweis

Wir benutzen die Darstellung

$2f=\liminf _{n\rightarrow \infty }(f_{n}+f-|f_{n}-f|)$

wenden das Lemma von Fatou an, siehe das Kapitel über den Satz über majorisierte Konvergenz. Dan verwenden wir, dass das Integral auf den integrierbaren Funktionen additiv ist und die Integrale konvergieren

${\begin{aligned}2\int fdm=&\int \liminf _{n\rightarrow \infty }(f_{n}+f-|f_{n}-f|)dm\\\leq &\liminf _{n\rightarrow \infty }\int (f_{n}+f-|f_{n}-f|)dm\\=&2\int fdm-\limsup _{n\rightarrow \infty }\int |f_{n}-f|dm\\\end{aligned}}$

Das ergibt

${\begin{aligned}0\leq &-\limsup _{n\rightarrow \infty }\int |f_{n}-f|dm\leq 0\\\lim _{n\rightarrow \infty }\int |f_{n}-f|dm=&0\end{aligned}}$