Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Das Maßproblem

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To-Do:

Skizze des grundsätzlichen Vorgehens und Begründung, warum gerade diese oder jene Eigenschaft wünschenswert ist; verbesserter Überblick über die nächsten Artikel:

  • was ist das Maßproblem?
  • Ziel: Messen von Mengen. D. h. wollen eine Funktion (ein Maß), die Teilmengen einer Grundmenge ihren Flächeninhalt/ihr Volumen/allg. eine nichtnegative reelle Zahl zuordnet
  • intuitiv sollten folgende Eigenschaften erfüllt sein, damit das sinnvoll ist: Kongruenz, Normiertheit, Additivität (Eigenschaften erklären und anschaulich herleiten, warum sie sinnvoll sind)
  • werden feststellen, dass der Übergang von endlicher zu abzählbarer Additivität (-Additivität) das Messen noch allgemeinerer Mengen ermöglichen wird -> Maßproblem.
  • Def. Maß: allgemein werden wir ein Maß auf einem Mengensystem definieren, das wir als Sigma-Algebra bezeichnen werden. Ein Maß soll in Entsprechung zu den genannten Eigenschaften die folgenden Eigenschaften aufweisen: , sigma-Additivität
  • doch ein Beispiel von Vitali wird zeigen, dass schon auf kein Maß existieren kann, das alle genannten Eigenschaften erfüllt und einem Intervall seine Länge zuordnet
  • werden zunächst untersuchen, was passiert, wenn wir statt -Additivität die schwächere Eigenschaft der endlichen Additivität (erklären) fordern
  • das liefert den Begriff des Inhalts, speziell werden wir den Jordan-Inhalt betrachten
  • Einen Inhalt werden wir auf einem weniger umfassenden Mengensystem als ein Maß definieren, und zwar auf einer Algebra . Analog soll es die beiden Eigenschaften aufweisen: , endliche Additivität (...)
  • werden dennoch sehen, dass schon auf der Inhalt nicht die gewünschten Eigenschaften aufweist (Banach-Tarski-Paradoxon), das Inhaltsproblem ist unlösbar auf
  • deshalb: werden nicht beliebige TM zulassen, sondern eine Unterscheidung treffen zwischen "guten" und "bösen" Mengen, die wir für ausgehend von Rechtecken und ihrem elementaren Flächeninhalt charakterisieren werden. Das wird genau die genannte Algebra sein.
  • (evtl. Detaillierterer Überblick zum Vorgehen: Rechtecke, Rechteckfiguren u. Eigenschaften, allgemeine Krummlinig begrenzte Flächen; Jordan-Inhalt, äußerer, innerer)
  • werden feststellen, dass durch die vorher getroffene Einschränkung von sigma- auf endliche Additivität Mengen nicht Jordan-m.b. sind, denen wir aber intuitiv doch ein bestimmtes Maß zuordnen können u. wollen (z. B. )
  • -> wollen doch auch abzählbare Vereinigungen zulassen, -Additivität, und den Jordan-Inhalt auf das Lebesgue-Maß erweitern (Carathéodory)
  • hier wird das schon erwähnte Beispiel von Vitali uns dazu veranlassen, nur bestimmte "gute" (m.b.) Teilmengen zuzulassen, denen wir ihr Maß zuordnen wollen. Trotz dieser Einschränkung wird das unseren Begriff der m.b. Menge erheblich erweitern, und zwar auf die erwähnte Sigma-Algebra

Eine Inhalts- oder Maßfunktion auf soll die "Länge" einer Menge messen. Dabei sind bestimmte Eigenschaften naheliegend (TODO: Wieso sind diese Eigenschaften naheliegend?):

  1. Verschiebe ich die Menge auf dem Zahlenstrahl, so soll die verschobene Menge dieselbe Länge haben.
  2. Als weitere Bedingung sollte das Maß des Einheitsintervalles den Wert Eins haben.
  3. Nun tritt ein Unterschied auf: Die Inhaltsfunktion sollte die naheliegende Eigenschaft haben, dass sie endlich vielen disjunkten Mengen die Summe der Einzelmaße der einzelnen disjunkten Mengen zuordnet. Die Maßfunktion sollte abzählbar vielen disjunkten Mengen die Summe der Einzelmaße zuordnen, was zwar intuitiv plausibel, aber keineswegs eine selbstverständliche Forderung ist. Wir werden diese Eigenschaft für unser Lebesguemaß explizit nachrechnen müssen. TODO: Warum hat man einen Unterschied zwischen der Inhalts- und Maßfunktion?

Leider lässt sich mit dem Auswahlaxiom (und nur unter Verwendung des Auswahlaxioms) schon im Eindimensionalen ein Widerspruch zum Maßproblem konstruieren. TODO: Welchen?

Wir können also ganz wild konstruierten Megen schlicht keine Länge zuweisen. TODO: Wieso?

Wir betrachten daher nur "gute" Mengen, die wir erst einmal herausfinden müssen. Die Klasse der "guten" Mengen ist dabei so reichhaltig, dass sie für alle in der Praxis relevanten Fragestellungen genügen. TODO: Weiter ausführen