Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Das Maßproblem

Eine Inhalts- oder Maßfunktion auf $\mathbb {R} ^{1}$ soll die "Länge" einer Menge messen. Dabei sind bestimmte Eigenschaften naheliegend (TODO: Wieso sind diese Eigenschaften naheliegend?):

1. Verschiebe ich die Menge auf dem Zahlenstrahl, so soll die verschobene Menge dieselbe Länge haben.
2. Als weitere Bedingung sollte das Maß des Einheitsintervalles $\lbrack 0,1]$ den Wert Eins haben.
3. Nun tritt ein Unterschied auf: Die Inhaltsfunktion sollte die naheliegende Eigenschaft haben, dass sie endlich vielen disjunkten Mengen die Summe der Einzelmaße der einzelnen disjunkten Mengen zuordnet. Die Maßfunktion sollte abzählbar vielen disjunkten Mengen die Summe der Einzelmaße zuordnen, was zwar intuitiv plausibel, aber keineswegs eine selbstverständliche Forderung ist. Wir werden diese Eigenschaft für unser Lebesguemaß explizit nachrechnen müssen. TODO: Warum hat man einen Unterschied zwischen der Inhalts- und Maßfunktion?

Leider lässt sich mit dem Auswahlaxiom (und nur unter Verwendung des Auswahlaxioms) schon im Eindimensionalen ein Widerspruch zum Maßproblem konstruieren. TODO: Welchen?

Wir können also ganz wild konstruierten Megen schlicht keine Länge zuweisen. TODO: Wieso?

Wir betrachten daher nur "gute" Mengen, die wir erst einmal herausfinden müssen. Die Klasse der "guten" Mengen ist dabei so reichhaltig, dass sie für alle in der Praxis relevanten Fragestellungen genügen. TODO: Weiter ausführen