Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Das Maß-Integral – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“


MotivationBearbeiten

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

Wo stehen wirBearbeiten

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien   Messräume. Wir definierten eine Abbildung   als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra   auf Mengen der Sigma-Algebra   abbildete. Es genügte, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Wir konstruierten uns durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Grenzwertbildung von numerischen Funktionen neue numerische Funktionen. Wir zeigten, dass sich alle nicht-negativen messbaren numerischen Funktionen   als Grenzwert einer monoton steigenden Folge von primitiven Funktionen darstellen lassen. In diesem Kapitel definieren wir nun das Integral für primitive Funktionen und beweisen, dass zwei monoton wachsende Folgen in P mit demselben Grenzwert denselben Grenzwert der Integrale haben. Damit können wir für eine nicht-negative messbare numerische Funktion eindeutig das Integral definieren mit Hilfe der Integrale primitiver Funktionen. Das so definierte Integral ist wie das Riemann-Integral additiv, monoton und positive Skalare lassen sich mit dem Integral vertauschen.

Das Integral als Fläche unter der nicht-negativen FunktionBearbeiten

Sei im ganzen Kapitel   eine Menge,   eine Sigma-Algebra und   ein Maß.

Das Integral der Indikatorfunktion   soll das Maß von   sein. Das ist anschaulich die Fläche unterhalb der Funktion.

Im Bild die Indikatorfunktion zu  . Die Fläche ist 0,5+2+0,5=3.

Das Integral endlicher positiver Linearkombinationen  , soll die endliche nicht-negative Linearkombination der Maße der   sein. Das ist wie beim Riemann-Integral wieder die Fläche unter der Funktion.


Definition

Eien Grundmenge zusammen mit einer Sigma-Algebra und einem Maß heißt Maßraum.

Das Maßintegral für   und  ,   ist definiert als Abbildung von den primitiven Funktionen in die nicht-negativen Zahlen inklusive Unendlich   wobei gilt

 

Beweis (Eindeutigkeit)

Das Integral ist unabhängig von der Darstellung von  : Seien

 

zwei Zerlegungen von W und

 

Da

 

muss für   gelten  , d.h.

 

Das ergibt, da m additiv ist durch Vertauschen der Summen

 

Aufgabe 1Bearbeiten

Aufgabe (Ein einfaches Integral)

Sei   mit   das Zählmaß und   gegeben.   ist automatisch messbar. Berechne  

Wie kommt man auf den Beweis? (Ein einfaches Integral)

Stelle   dar als primitive Funktion

Lösung (Ein einfaches Integral)

  ist messbar, da links die Potenzmenge steht und somit   automatisch gültig ist.

Für   gilt

 

Die rechte Seite ist eine primitive Funktion, daher ist das Integral

 

Eigenschaften des Integrales primitiver FunktionenBearbeiten

Satz

Das Integral ist additiv und positive Faktoren lassen sich mit dem Integral vertauschen, zudem ist das Interal monoton, in Formeln: Für   und   gilt

 

Damit gilt für eine beliebige Darstellung von   ohne die Forderung der Disjunktheit der  

 

Beweis

Es gilt nach Definition des Integrales

 

Für   und   betrachten wir die disjunkte gemeinsame Zerlegung. Das ergibt die Darstellungen

 

und wir rechnen mit der Additivität von   die Additivität des Integrales nach gemäß

 

Da   für alle   ist   und   hat wegen   auf   die Darstellung

 

Wegen   und der gerade gezeigten Additivität des Integrales gilt

 

Das ist die Monotonie.

Ein Hilfsssatz zu Grenzwerten von IntegralenBearbeiten

Wir wollen die Folgen der Integrale für zwei verschiedene Folgen   in   vergleichen. Dazu vergleichen wir erst einmal eine Folge   mit einem festen anderen  .

Satz

Seien   und   monoton steigend.

Aus   folgt

 

Beweis

Wir benötigen einen Hilfsfaktor  , den wir am Ende des Beweises gegen   streben lassen. Mit diesem Faktor verwandeln wir das Kleiner-Gleich-Zeichen der Voraussetzung in ein Kleiner-Zeichen.

Da   messbar sind, ist die Menge der   für die   größer gleich   ist, messbar:

 

Auf   gilt schon  , auf   gilt leider  . Setzen wir den rechten Wert für   auf   durch Multiplikation mit  , so gilt wegen   für alle  

 

Diese Ungleichung benutzen wir für den Beweis. Für   gilt

 

und somit

 

Damit sind die   monoton steigend:

 

Wegen der Voraussetzung   und   gilt

 

Da die   monoton steigend gegen den Grenzwert streben, gibt es ein  , sodass schon  , in Formeln

 

Nach Definition von   bedeutet das

 

Da für ALLE   ein solches   existiert, gehen die   monoton steigend gegen  

 

Wir nehmen die folgende Darstellung für   an

 

Dann gilt für die einzelnen  

 
To-Do:

ohne Stetigkeit beweisen

Da   stetig von unten ist (gleichwertig zur Sigma-Additivität), folgt

 

Wegen   gilt

 

Wir erhalten eine erste Abschätzung für das Integral wegen

 

Wegen der Rechenregeln für das Integral "Monotonie" und "Faktor   vertauscht mit dem Integral" gilt

 

ergibt sich im Grenzwert aus der obigen Rechnung

 

Im Grenzwert   bleibt das Größergleich-Zeichen erhalten.

Der Grenzwert ist unabhängig von der Wahl der FolgeBearbeiten

Satz

Zwei monoton wachsende Folgen in   mit demselben Grenzwert haben denselben Grenzwert der Integrale: Seien   und   zwei wachsende Folgen in  .

Aus   folgt

 

Beweis

Für alle   gilt

 

Wir haben gerade gezeigt, dass dann   folgt

 

Die Ungleichungen bleiben im Grenzwert erhalten. Das ergibt

 

Das Integral nicht-negativer numerischer FunktionenBearbeiten

Damit können wir nun definieren:

Definition

Sei   und   eine monoton wachsende Folge in   mit  . Dann heißt

 

das Integral von   bezüglich  .

Beweis (Eindeutigkeit des Integrales)

Wir haben gezeigt, dass für jedes   eine solche Folge existiert und dass der Grenzwert für alle solchen Folgen eindeutig ist.

Aufgabe 2Bearbeiten

Aufgabe (Ein einfaches Integral)

Sei   mit   das Zählmaß und   gegeben.   ist automatisch messbar. Berechne  

Wie kommt man auf den Beweis? (Ein einfaches Integral)

Stelle   dar als Grenzwert primitiver Funktionen.

Lösung (Ein einfaches Integral)

  ist messbar, da links die Potenzmenge steht und somit   automatisch gültig ist.

Für   gilt

 

Die Funktionen hinter dem Limes sind primitive Funktionen und ihr Integral ist nach Definition

 

Da die   monoton wachsend gegen   gehen, ist das Integral von   der Grenzwert der obigen Integrale

 

Eigenschaften des IntegralesBearbeiten

Satz (Rechenregeln für das Maßintegral)

Für   und   gilt

 

Beweis (Rechenregeln für das Maßintegral)

Man hat es für Funktionen aus P gezeigt und rechnet es nun mit Folgen   nach.

1.):

Seien   mit  , d.h.

 

Wegen   gilt

 

d.h.  . Wir haben damit eine Folge in   gefunden, die monoton steigend gegen   geht und erhalten automatisch das Integral von   als Grenzwert der Integrale von  

 

2.:

Seien zusätzlich   mit  . Dann gilt   und

 

d.h.  .

Wir haben damit eine Folge in   gefunden, die monoton steigend gegen   geht und erhalten automatisch das Integral von   als Grenzwert der Integrale von  . Wir nutzen jetzt die Additivität in   für

 

3.:

Wegen

 

gilt   mit obigem Satz

 

Die Ungleichung bleibt auch im Grenzwert erhalten, d.h.