Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Aufgabensammlung

Hier werden verschiedene Übungsaufgaben gesammelt.

Mengensysteme

• Zeige, dass die folgenden beiden Charakterisierungen eines Dynkin-Systems ${\mathcal {D}}$ über der Grundmenge $\Omega$ äquivalent sind:
  • ${\mathcal {D}}$ enthält $\Omega$ und ist abgeschlossen unter abzählbaren Vereinigungen paarweise disjunkter Mengen und Differenzen von Mengen $A,B$ mit $A\subseteq B$
  • ${\mathcal {D}}$ enthält $\Omega$ und ist abgeschlossen unter abzählbaren Vereinigungen paarweise disjunkter Mengen und Komplementbildung
• Zeige, dass die beiden Charakterisierungen einer $\sigma$-Algebra äquivalent sind
• zeige, dass Schnitte von $\sigma$-Algebren wieder eine $\sigma$-Algebra sind.
• Dieselbe Aufgabe für Dynkin-Systeme.
• Ist im Allgemeinen die Vereinigung von $\sigma$-Algebren wieder eine $\sigma$-Algebra?
• Sei ${\mathcal {C}}$ Mengensystem. Zeige, dass die von ${\mathcal {C}}$ erzeugte $\sigma$-Algebra $\sigma ({\mathcal {C}})$ die kleinste $\sigma$-Algebra ist, die ${\mathcal {C}}$ enthält.
• Dieselbe Aufgabe für das erzeugte Dynkin-System $\delta ({\mathcal {C}})$
• Eine $\sigma$-Algebra ist entweder endlich oder überabzählbar.
• Jede $\sigma$-Algebra ist ein Dynkin-System, aber nicht jedes Dynkin-System ist eine $\sigma$-Algebra.
• Zeige: ${\mathcal {R}}:=\{A\subseteq \mathbb {R} :A{\text{ ist abzählbar oder }}A^{\complement }{\text{ ist abzählbar}}\}$ ist eine $\sigma$-Algebra über $\mathbb {R}$.
• Nachrechnen, die Borel-$\sigma$-Algebra von verschiedenen Mengensystemen erzeugt wird (Halboffene Intervalle, abgeschlossene Intervalle, offene Intervalle, ...)
• Zeige, dass die Borel-$\sigma$-Algebra über $\mathbb {R}$ die folgenden Mengen enthält:
  • alle einelementigen Mengen
  • alle offenen, abgeschlossenen, kompakten Intervalle
  • alle rechts offenen Intervalle
  • ...
• Jeder Ring ${\mathcal {R}}$ mit $\Omega \in {\mathcal {R}}$ ist eine Algebra.