Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/Inhalte auf Mengenringen

Inhalte auf Ringen

extensive Größen und Additivität

• Beispiele für extensive Größen; Messen als Quantifizieren: Ideen:
  • Masse m
  • Volumen (Länge, Flächeninhalt, Volumen; evtl. auch nicht ganzzahliger Dimension (Fraktale))
  • Stoffmenge n
  • elektrische Ladung Q
  • Impuls (?)
  • Thermodynamisches Potential // innere/freie Energie, freie Enthalpie, Entropie (?)
  • Wahrscheinlichkeiten
  • ein Beispiel zur Abgrenzung: Temperatur als nicht extensive Größe (Zusammenfügen zweier Körper derselben Temperatur führt nicht zu einer Summe der Temperaturen)
  • Mengenartige Größen als Größen, die man mit “viel” und “wenig” charakterisieren kann (Viel oder wenig oder keine Ladung, aber nicht: viel/wenig/keine Temperatur) -> Zusammenhang mit “Messen”
• es folgt: Additivität einer solchen extensiven Mengenfunktion

Welcher Definitionsbereich?

• welcher Definitionsbereich der Mengenfunktion? Potenzmenge?
• klappt nicht immer: Banach-Tarski und das Inhaltsproblem
• welche Eigenschaften wollen wir aber zumindest haben m. B. auf Additivität?
  • disjunkte Vereinigung: als “+”, wegen der Additivität (wenn zwei Teile bekannt, dann auch ihre Summe)
  • Differenz: als "-" (wenn Volumen des Ganzen bekannt und eines Teils davon, dann auch der des anderen Teils)
• wegen Differenz kann man beliebige Vereinigungen zulassen

Definition: Mengenring

• Definition: Mengenring

Definition: Inhalt auf einem Ring

• Definition: Inhalt auf Ring

Eigenschaften von Inhalten

• Subtraktivität
• Monotonie
• Subadditivität
• sigma-Superadditivität (?!)
• Einschluss-Ausschluss-Prinzip