Buchanfang Algebra by Morrison69/ Untergruppen und Nebenklassen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Untergruppen und Nebenklassen

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit Untergruppen. Kurz und bündig sind das Teilmengen $A\subseteq M$ von Gruppen $\left(M,\circ ,e\right)$, die mit der entsprechenden Verknüpfung $\circ$ wiederum eine Gruppe bilden. Das diskutieren wir an mehreren Beispielen, vor allem jedoch an den ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$.

Untergruppen

Die geraden Zahlen

Orientieren wir uns ein weiteres Mal an der Gruppe der ganzen Zahlen $\left(\mathbb {Z} ,+,0\right)$:

Beispiel (Die geraden Zahlen)

In diesem Beispiel sehen wir uns die geraden Zahlen etwas genauer an. Wie du weißt, sind das die Zahlen $\cdots ,-4,-2,0,2,4,\cdots$. Wir können sie wie folgt darstellen: $\left\{2k\colon \;k\in \mathbb {Z} \right\}$ und bezeichnen sie im Folgenden daher einfach mit $2\mathbb {Z}$. Da jede gerade Zahl insbesondere eine ganze Zahl ist, gilt $2\mathbb {Z} \subset \mathbb {Z}$. Damit haben wir geklärt, dass die geraden Zahlen eine Teilmenge der ganzen Zahlen sind. Nun überlegen wir uns, ob die geraden Zahlen bezüglich der Verknüpfung $+$ abgeschlossen sind. Das heißt: Addierst du zwei gerade Zahlen, dann erhältst du wieder eine gerade Zahl. Prüfen wir das nach: Zwei gerade Zahlen $a,b\in 2\mathbb {Z}$ lassen sich darstellen als $a=2k,b=2l$. Dabei sind $k,l\in \mathbb {Z}$. Addieren wir die beiden Zahlen, so erhalten wir $a+b=2k+2l=2\left(k+l\right)$. Da $k+l\in \mathbb {Z}$ ist, erhalten wir $a+b\in 2\mathbb {Z}$, und wir haben die Behauptung bewiesen. Also sind die geraden Zahlen bezüglich $+$ abgeschlossen. Die Assoziativität der Verknüpfung + überträgt sich ganz einfach: Für alle ganzen Zahlen gilt das Assoziativgesetz der Addition - also insbesondere auch für alle geraden Zahlen! Als nächstes fragen wir: Ist das neutrale Element der Addition in $2\mathbb {Z}$ enthalten? Klar, denn das ist die 0, eine gerade Zahl. Zu jeder geraden Zahl $a=2k,k\in \mathbb {Z}$ liegt ebenfalls ihr negatives Pendant $-a=-2k\in 2\mathbb {Z}$. Somit können wir festhalten: $\left(2\mathbb {Z} ,+,0\right)$ ist eine Gruppe, und da $2\mathbb {Z} \subset \mathbb {Z}$ gilt, handelt es sich um eine Untergruppe der ganzen Zahlen!

Die Definition von Untergruppen

Angelehnt an das Beispiel der geraden Zahlen können wir nun sauber definieren:

Definition (Untergruppe)

Sei $\left(M,\circ ,e\right)$ eine Gruppe. Wir nennen $\left(A,\circ ,e\right)$ eine Untergruppe von $\left(M,\circ ,e\right)$, falls

• $A\subseteq M$ gilt und
• $\left(A,\circ ,e\right)$ wieder eine Gruppe ist.

Symbolisch schreiben wir für eine Untergruppe $\left(A,\circ ,e\right)$ einer Gruppe $\left(M,\circ ,e\right)$ einfach $\left(A,\circ ,e\right)\leq \left(M,\circ ,e\right)$. Wenn klar ist, um welche Verknüpfung $\circ$ und welches neutrale Element es sich handelt, schreiben wir nur $A\leq M$.

Im Beispiel zu den geraden Zahlen betonte ich, dass die geraden Zahlen bezüglich der Addition abgeschlossen sind. In der nachgelieferten allgemeinen Definition steckt das im zweiten Punkt: Würde nämlich die Verknüpfung $\circ$ zwei Elementen $a,b\in A$ ein Element $a\circ b\notin A$ zuordnen, so wäre $\left(A,\circ ,e\right)$ gar keine Gruppe. Beachte auch immer, dass das neutrale Element $e\in M$ in $A$ liegt:

Hinweis

Eine Untergruppe $\left(A,\circ ,e\right)$ der Gruppe $\left(M,\circ ,e\right)$ hat immer dasselbe neutrale Element $e$!

Betrachten wir anstatt den ganzen Zahlen $2\mathbb {Z}$ die ungeraden Zahlen, $2\mathbb {Z} +1=\left\{2k+1\colon \;k\in \mathbb {Z} \right\}$, so merken wir schnell: Da die 0 keine ungerade Zahl ist, kann $\left(2\mathbb {Z} +1,+,0\right)$ auch keine Untergruppe der ganzen Zahlen sein.

Ebenso muss nach Definition zu jedem Element $a\in A$ auch das Inverse $a^{-1}\in A$ in der Untergruppe enthalten sein.

Untergruppenkriterien

Es kann teilweise ziemlich mühsam sein, die Untergruppenaxiome nachzuprüfen. Daher stellen wir uns die Frage: Gibt es einfache Kriterien, mit denen wir einer Menge $A\subseteq M$ ansehen können, ob sie mit der Verknüpfung $\circ$ eine Untergruppe der Gruppe $\left(M,\circ ,e\right)$ ist? Diese Frage lässt sich glücklicherweise positiv beantworten:

Satz (Das erste Untergruppenkriterium)

Eine Teilmenge $A\subseteq M,A\neq \emptyset$ einer Gruppe $\left(M,\circ ,e\right)$ ist mit der Verknüpfung $\circ$ genau dann eine Untergruppe, falls gilt:

• Für alle Elemente $a,b\in A$ ist ihre Verknüpfung wieder ein Element von $A$, d.h. $a,b\in A\Rightarrow a\circ b\in A$
• Für alle Elemente $a\in A$ ist ihr Inverses wieder ein Element von $A$, d.h. $a\in A\Rightarrow a^{-1}\in A$.

Beweis

Wir müssen offensichtlich zwei Richtungen zeigen - genauer:

• $A\subseteq M$ ist eine Untergruppe von M $\Rightarrow$ das Kriterium ist erfüllt.

Doch das kannst du dir leicht überlegen: Wenn es bei $A\subseteq M$ tatsächlich um eine Untergruppe handelt, dann ist $\left(A,\circ ,e\right)$ insbesondere eine Gruppe. Damit folgt aber: Sind $a,b\in A$, so ist auch ihre Verknüpfung $a\circ b\in A$. Außerdem gilt für das Inverse eines Elements $a\in A$ dementsprechend $a^{-1}\in A$. Also ist das Kriterium erfüllt!

• das Kriterium ist erfüllt $\Rightarrow \;A$ ist eine Untergruppe.

Zunächst folgt aus der Eigenschaft $a,b\in A\Rightarrow a\circ b\in A$ die Abgeschlossenheit von A unter der Verknüpfung $\circ$. Die Assoziativität der Verknüpfung $\circ$ überträgt sich von M auf A, denn A ist schließlich Teilmenge von M. Weiter wissen wir, dass nach Voraussetzung mit jedem Element $a\in A$ auch sein Inverses $a^{-1}$ in A liegt. Damit müssen wir nur noch einer letzten Frage nachgehen, und zwar: Enthält A das neutrale Element e der Gruppe $\left(M,\circ ,e\right)$? A ist nach Voraussetzung nichtleer (beachte: $A\neq \emptyset$). Damit gibt es ein Element $a\in A$. Nach dem zweiten Punkt des Kriteriums gilt $a^{-1}\in A$. Nach dem ersten Punkt gilt dann $a\circ a^{-1}\in A$. Doch das ist ja gerade das neutrale Element: $a\circ a^{-1}=e$. Demnach gilt $e\in A$ und wir haben alles gezeigt. $\square$

Dieses Kriterium ist deshalb so beachtlich, da es nicht explizit die Existenz des neutralen Elements in der Untergruppe fordert, sondern automatisch mitliefert! Schauen wir uns das vorherige Kriterium etwas genauer an: Es fordert

• die Abgeschlossenheit der Untergruppe bezüglich der Verknüpfung $\circ$ und
• die Abgeschlossenheit der Untergruppe bezüglich der Inversion.

Letzteres bedeutet einfach, dass mit einem Element der Untergruppe auch sein Inverses in der Untergruppe liegt. Wenn das aber tatsächlich der Fall ist, können wir dann nicht die beiden Bedingungen zu einer einzigen verschmelzen? Natürlich - denn das regelt das folgende Kriterium:

Satz (Das zweite Untergruppenkriterium)

Eine Teilmenge $A\subseteq M,\;A\neq \emptyset$ einer Gruppe $\left(M,\circ ,e\right)$ ist zusammen mit der Verknüpfung $\circ$ genau dann eine Untergruppe, falls gilt: Für alle $a,b\in A$ ist $a\circ b^{-1}\in A$.

Beim Beweis können wir gleich das gerade bewiesene erste Untergruppenkriterium heranziehen. Denn wir wissen ja schon: Eine Teilmenge $A\subseteq M$ ist genau dann eine Untergruppe, wenn das erste Untergruppenkriterium erfüllt ist! Wir zeigen also schematisch

Untergruppe ($\Leftrightarrow$ 1. Kriterium $\Leftrightarrow$) 2. Kriterium

und gehen den Weg über das erste Untergruppenkriterium. Wie oben müssen wir zwei Richtungen zeigen:

Beweis

• das erste Kriterium ist erfüllt $\Rightarrow$ das zweite Kriterium ist erfüllt.

Zuerst nehmen wir uns zwei beliebige Elemente $a,b\in A$. Nach Voraussetzung ist das erste Kriterium erfüllt, und damit gilt $b^{-1}\in A$. Andererseits wissen wir, dass nach dem ersten Kriterium für zwei Elemente $a,b\in A$ auch $a\circ b^{-1}\in A$ ist. Du hast gerade gesehen, dass insbesondere $b^{-1}\in A$ ist. Kombinieren wir beides, so erhalten wir unser zweites Kriterium, nämlich $a\circ b^{-1}\in A$. Damit ist alles wie gewünscht!

• das zweite Kriterium ist erfüllt $\Rightarrow$ das erste Kriterium ist erfüllt.

Dafür arbeiten wir die zwei Bedingungen des ersten Kriteriums ab. Als erstes überlegen wir uns, warum $a,b\in A\Rightarrow a\circ b\in A$ gilt. Wir wissen, dass $A\neq \emptyset$, A also nicht die leer Menge ist. Wie oben schließen wir, dass es also mindestens ein Element $a\in A$ gibt. Nun können wir ohne Einschränkung $b=a$ setzen und erhalten $e=a\circ a^{-1}\in A$ nach Voraussetzung. Damit ist automatisch das neutrale Element e in A enthalten. Wendest du jetzt das zweite Kriterium auf das neutrale Element e und a an, so ergibt sich $a^{-1}=e\circ a^{-1}\in A$. Damit haben wir die erste Etappe geschafft. Ab jetzt stellen wir keine weiteren Bedingungen mehr an b. Gerade haben wir gesehen, dass mit b auch $b^{-1}$ in A liegt. Also wenden wir ein letztes Mal das zweite Kriterium an, nun aber auf a und $b^{-1}$. So ergibt sich das Gewünschte, denn $a\circ \left(b^{-1}\right)^{-1}=a\circ b\in A$. Damit haben wir auch den ersten Punkt des ersten Kriteriums nachgewiesen und sind fertig! $\square$

Schnitte von Untergruppen

Aus der Mengenlehre ist dir bekannt, dass wir zwei Mengen schneiden können. Das wiederhole ich an dieser Stelle kurz: Schneiden wir zwei Mengen $A,B$, so filtern wir gerade diejenigen Elemente heraus, die sowohl in der Menge $A$ als auch in der Menge $B$ enthalten sind. Formal betrachtet bilden wir also die Menge $A\cap B=\left\{x:x\in A\land x\in B\right\}$. Diese Menge nennen wir den Schnitt oder auch die Schnittmenge von A und B. In diesem Abschnitt zeigen wir, dass jeder beliebige Schnitt von Untergruppen wieder eine Untergruppe ist. Hierfür müssen wir aber zunächst präzisieren, was wir unter einem beliebigen Schnitt verstehen. Das erfordert etwas Theorie.

Satz (Schnitte von Untergruppen sind wieder Untergruppen)

Sei $\left(M,\circ ,e\right)$ eine Gruppe und $\left(A_{i}\right)_{i\in I}$ eine beliebige Familie von Untergruppen der Gruppe $\left(M,\circ ,e\right)$. Dann ist der Schnitt $\left(\bigcap _{i\in I}{A_{i}},\circ ,e\right)$ wiederum eine Untergruppe von $\left(M,\circ ,e\right)$.

Dies wollen wir jetzt beweisen. Du wirst sehen, dass der Beweis nur in der rigorosen Anwendung der entsprechenden Definitionen besteht:

Beweis (Schnitte von Untergruppen sind wieder Untergruppen)

• Inverses Element: Jede Untergruppe, welche das Element $a$ beinhaltet, muss nach der Definition einer Untergruppe auch das inverse Element $a^{-1}$ beinhalten. Da dies für jede Untergruppe gilt, gilt es auch für jeden beliebigen Schnitt von Untergruppen.
• Für die Verknüpfung zweier Elemente $a$ und $b$ gilt: Sind $a$ und $b$ Elemente des Schnitts von Untergruppen, so befinden sie sich in jeder einzelnen Untergruppe des Schnitts. Damit ist auch die Verknüpfung $a\circ b$ in jeder Untergruppe, und somit auch in der Schnittmenge selbst.

Hinweis

Dieses Buchprojekt ruht und es ist auch nicht absehbar, wann die Arbeit wieder aufgenommen wird. Wenn du Lust hast, an diesem Buch weiterzuschreiben, dann wende dich bitte an Stephan Kulla.