Buchanfang Algebra by Morrison69/ Grundlegendste Eigenschaften von Gruppen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

In dem vorigen Kapitel haben wir uns bereits sehr weit an den Gruppenbegriff angenähert. Hier wollen wir noch einmal eine zusammenfassende Definition geben.

Definition einer Gruppe

Eine Gruppe besteht aus einer Menge $G$ und einer Verknüpfung $\circ$, die zwei Elemente aus der Gruppe verknüpft und sie einem dritten Element aus der Gruppe zuordnet. Wir schreiben eine Gruppe als Tupel $(G,\circ )$. Die Verknüpfung können wir in Kurzschreibweise so darstellen:

${\begin{aligned}\circ :\quad G\times G&\rightarrow G\\(x,y)&\mapsto x\circ y\end{aligned}}$

Damit ein Tupel $(G,\circ )$ eine Gruppe ist, müssen folgende Axiome gelten:

1. Die Verknüpfung ist assoziativ. Das bedeutet: Für alle Elemente $x,y,z\in G$ gilt: $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$.
2. Es gibt ein neutrales Element $e\in G$. Dieses neutrale Element erfüllt für jedes Element $x$ der Gruppe: $x\circ e=x$ und $e\circ x=x$.
3. Zu jedem Element der Gruppe existiert ein inverses Element. Das bedeutet: Wir haben ein Element $x\in G$. Dann muss es dazu auch ein Element $y\in G$ geben, sodass gilt: $x\circ y=e$ und $y\circ x=e$. Wir nennen $y$ das Inverse von $x$. Statt $y$ können wir auch $x^{-1}$ schreiben.

Hinweis

Wir fordern in 2. zwei Dinge gleichzeitig: Die Verknüpfung von $x$ mit $e$ und die Verknüpfung von $e$ mit $x$ muss jeweils $x$ ergeben. Das liegt daran, dass in Gruppen nicht immer egal ist, in welcher Reihenfolge wir Elemente miteinander verknüpfen. Wir sagen dazu auch: Nicht jede Gruppe ist kommutativ. Auf die Unterscheidung von Gruppen nach der Kommutativität ihrer Verknüpfung werden wir später in diesem Kapitel noch eingehen.

Folgerungen: Weitere wichtige Eigenschaften von Gruppen

Zusätzlich zu den drei in der Definition geforderten Eigenschaften können wir auch noch weitere Gemeinsamkeiten aller Gruppen herausfinden.

Die Eindeutigkeit des neutralen Elements

Satz (Eindeutigkeit des neutralen Elements)

In einer Gruppe gibt es genau ein neutrales Element

In der Definition einer Gruppe haben wir bisher nur gesagt, dass ein neutrales Element existiert. Das sagt aber nichts darüber aus, ob es vielleicht auch mehrere neutrale Elemente geben könnte. In Quantorenschreibweise unterscheidet man deswegen auch zwischen $\exists$ für „es gibt“ und $\exists !$ für „es gibt genau ein(e)“. Wir brauchen die Eindeutigkeit des neutralen Elements nicht schon in der Definition zu fordern. Sie lässt sich nämlich aus den Eigenschaften, die wir oben genannt haben, ableiten.

Wie kommt man auf den Beweis? (Eindeutigkeit des neutralen Elements)

Wir verwenden eine sehr häufig benutzte Methode, um die Eindeutigkeit des neutralen Elements zu zeigen: den Widerspruchsbeweis. In diesem Fall bedeutet das: Wir nehmen an, der Satz würde nicht stimmen. Das würde bedeuten, dass es mehr als ein neutrales Element gibt. Auf diese Annahme wenden wir die Axiome aus der Definition an und versuchen, einen Widerspruch zu erhalten.

Beweis (Eindeutigkeit des neutralen Elements)

Angenommen, es gäbe mehrere verschiedene (also mindestens zwei) neutrale Elemente. Wir betrachten die neutralen Elemente $e$ und $e'$. Weil ein neutrales Element nach Definition bei Verknüpfung mit einem anderen Element der Gruppe dieses Element fest lässt, können wir sagen:

${\begin{aligned}e\circ e'&=e'&{\color {OliveGreen}{\text{Betrachte }}e{\text{ als neutrales Element und verknüpfe es rechts mit }}e'.}\\e\circ e'&=e&{\color {OliveGreen}{\text{Betrachte }}e'{\text{ als neutrales Element und verknüpfe es links mit }}e.}\end{aligned}}$

Setzen wir diese beiden Gleichungen jetzt doch einmal zusammen (wobei wir die erste Gleichung „rückwärts“ lesen). Wir erhalten dann:

$e'=e\circ e'=e$

Das bedeutet: Das neutrale Element $e'$ ist das gleiche Gruppenelement wie das neutrale Element $e$. Wir haben also gar keine zwei verschiedenen neutralen Elemente, sondern nur genau eines.

Die Eindeutigkeit des inversen Elements $a^{-1}$ zu $a$

Hinweis

Meist bezeichnen wir das inverse Element zu $a$ mit $a^{-1}$. Es gibt aber auch Gruppen, in denen diese Darstellung eher nicht so sinnvoll ist, beispielsweise $(\mathbb {Z} ,+)$. In diesem Fall solltest du das Inverse zu $a$ lieber $-a$ nennen. Bei $a^{-1}$ denkt man nämlich oft direkt an ${\frac {1}{a}}$, was in der Menge der ganzen Zahlen ja nicht das Inverse zu $a$ bezüglich $+$ ist, sondern in den meisten Fällen gar nicht existiert.

Satz (Eindeutigkeit des inversen Elements)

Wir betrachten das Gruppenelement $a\in G$. Dann gibt es zu $a$ genau ein inverses Element $a^{-1}$.

Aus der Definition der Gruppe weißt du bereits, dass es zu jedem Element der Gruppe auch ein Inverses gibt. Allerdings sagt die Definition nicht, ob es vielleicht zwei verschiedene Gruppenelemente geben könnte, die invers zu dem gleichen Gruppenelement sind. Wir werden jetzt zeigen, dass es immer nur genau ein inverses Element zu jedem Gruppenelement gibt.

Wie kommt man auf den Beweis? (Eindeutigkeit des inversen Elements)

Wir verwenden wieder einen Widerspruchsbeweis. Das bedeutet: Wir nehmen an, es gäbe zwei verschiedene Inverse zu ein und demselben Element. Außerdem werden wir im Beweis die Assoziativität der Verknüpfung $\circ$ ausnutzen.

Beweis (Eindeutigkeit des inversen Elements)

Angenommen, es gäbe mehrere verschiedene Inverse zu $a\in G$. Sagen wir, $b\in G$ und $c\in G$ sind zwei verschiedene Gruppenelemente, die beide invers zu $a$ sind. Dann gilt nach der Definition einer Gruppe:

${\begin{aligned}b\circ a&=a\circ b&=e\\c\circ a&=a\circ c&=e\end{aligned}}$

Der entscheidende Trick im Beweis kommt jetzt: Wir sehen uns das Gruppenelement $c\circ a\circ b$ einmal genauer an. Weil die Verknüpfung $\circ$ assoziativ ist, können wir dieses Gruppenelement auf zwei verschiedene Arten schreiben, nämlich:

$c\circ (a\circ b)$ und $(c\circ a)\circ b$.

Wir haben vorausgesetzt, dass sowohl $b$ als auch $c$ invers zu $a$ sind. Also können wir die linke Darstellung von $c\circ a\circ b$ umformen zu:

$c\circ (a\circ b)=c\circ e=c$.

Aus der rechten Darstellung von $c\circ a\circ b$ wird:

$(c\circ a)\circ b=e\circ b=b$.

Da es sich aber um das gleiche Gruppenelement gehandelt hat, müssen auch $b$ und $c$ gleich sein. Daraus folgt, dass das zu $a$ inverse Element der Gruppe eindeutig bestimmt ist.

Anmerkung

Dem einen oder anderen wird es schon aufgefallen sein: Bei dem Gruppenbegriff geht es nicht nur um Zahlen (bzw. Mengen), sondern auch und vor allem um Verknüpfungen. Daher wird auch häufiger gesagt, eine Menge sei bezüglich einer bestimmten Verknüpfung eine Gruppe.

Hinweis

Dieses Buchprojekt ruht und es ist auch nicht absehbar, wann die Arbeit wieder aufgenommen wird. Wenn du Lust hast, an diesem Buch weiterzuschreiben, dann wende dich bitte an Stephan Kulla.