Analysis 2/ Normierte Räume – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Motivation und Einleitung

Mit Punkten rechnen. Dies bietet die analytische Geometrie, die die Geometrie mit der Algebra verbindet. Besonders sichtbar wird dies bei den Normen und Metriken, mit denen die Längen von Vektoren und die Abstände von Punkten resp. Vektoren algorithmisch bestimmt werden können.

Wir wollen also geometrische Objekte wie Vektoren aber auch allgemeiner mathematische Objekte wie z.B. Matrizen, Zahlenfolgen, Funktionen so beschreiben dass deren „Größe“ - dies kann z.B. eine Länge eines Vektors, das Maximum einer Funktion sein - zahlenmäßig fassbar wird, um sie messen und vergleichen zu können.

Was ist eine Norm und was eine Metrik? (allgemein)

Normen und Metriken dienen dazu, Abstände zu messen. Wichtiger Unterschied: Normen gibt es nur in Vektorräumen (oder Teilmengen davon), Metriken sind ein viel allgemeinerer Begriff. Wir beschränken uns hier auf Vektorräume über $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$.

|Definition= Sei $V$ ein Vektorraum über dem Körper $\mathbb {K}$.

Eine Norm auf $V$ ist eine Abbildung $\|\|\,\|:V\to \mathbb {R}$ mit den drei Eigenschaften

(i) Für alle $x\in V$ ist $\|x\|\geq 0$ und $\|x\|=0\Leftrightarrow x=0$ (Definitheit)

(ii) Für alle $\lambda \in \mathbb {K}$ ist $\|\lambda x\|=|\lambda |,\|x\|$ (positive Homogenität)

(iii) Für alle $x,y\in V$ ist $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$ (Dreiecksungleichung)

Als Abstand der Vektoren $x$ und $y$ definiert man $\|x-y\|$, $\|x\|=\|x-0\|$ ist dann der Abstand von $x$ zum Nullpunkt.

Wozu braucht man Normen und Metriken?

Normen und Metriken werden insbesondere in der linearen Algebra und der Funktionalanalysis studiert, sie spielen aber auch in der numerischen Mathematik eine wichtige Rolle.

Wie kommt man zu den Begriffen Norm, Metrik und Metrischer Raum?

Geometrische Anschauung (so im Raum, der uns umgibt) kann als Hinführung zu den Charakteristika der Begriffe Länge und Abstand dienen; Abstraktion (d.h. Weglassen anderer Eigenschaften) führt dann zu den Definitionen der Begriffe als logischen Konstruktionen. Diese können dann auch im anderen Kontext (also nicht notwendig im uns umgebenden Raum und somit viel allgemeiner) angewandt werden, sind dann aber oft nicht mehr anschaulich.
Aus unserem Alltag sind uns die Begriffe Länge und Abstand vertraut. Länge ist eine Eigenschaft eines räumlich ausgedehnten Objekts, z.B. Länge meines Autos; auch die Breite und die Höhe meines Autos sind Längen in unserem Sinne. Vom Abstand sprechen wir, wenn es um die Entfernung zweier Objekte im Raum geht, wobei wir uns für die zwei Objekte jeweils einen Punkt als Stellvertreter denken; dies kann der Schwerpunkt oder der räumliche Mittelpunkt des Objekts sein; auf diese Weise lässt sich der Abstand des Mondes von der Sonne oder der Abstand zwischen den beiden Vorderrädern meines Autos bestimmen. Länge und Abstand sind also Zahlenwerte, die wir durch Messen oder Berechnen einer Strecke - also einer Verbindungsgeraden - ermitteln, die durch die jeweiligen Punkte im uns umgebenden Raum definiert ist. Von Abstand und Entfernung sprechen wir aber auch, wenn es sich nicht um eine Verbindungsgerade handelt. So hat z.B. den Taxifahrer in Mannheim (oder Manhattan) mit den schachbrettartig angeordneten Stadtteilen eine andere Vorstellung von der Entfernung zweier Punkte im Stadtgebiet. Für seinen zu fahrenden Weg bestimmen die horizontalen und vertikalen Straßenabschnitte den Abstand zwischen Start- und Zielpunkt. Für ihn ist also der Abstand durch eine Zick-Zack-Linie mit geraden Abschnitten bestimmt.
Dass auch gekrümmten Linien bei der Frage nach dem Abstand Sinn machen, zeigt das folgende Beispiel. Wenn wir die Entfernung zweier Städte auf unserer Erde wissen wollen, dann sprechen wir von Luftlinie und meinen damit - zumindest bei nicht allzu nahe beieinander liegenden Städte - die Wegstrecke unter Berücksichtigung der Kugelgestalt der Erde, also die Länge eines Bogens auf der Kugeloberfläche, an dem sich (neben anderen Faktoren wie Luftströmungen) der Navigator eines Flugzeugs orientiert.
Wir sehen, dass Längen- und Abstände nicht notwendig auf der geraden Linie basieren und dass es unterschiedliche Verfahren gibt, um Längen und Abstände zu ermitteln. Die Zahlenwerte der Längen und Abstände variieren dann auch bei all den Verfahren. Hat man die Aufgabe, eine Länge oder einen Abstand zu ermitteln, kann man aus den Verfahren eines für den Zweck der Aufgabe geeignetes „herauspicken“. Was ist nun all diesen Verfahren gemeinsam?

Es liegt nahe zu fordern, dass die „Größe“ des mathematischen Objekts durch eine positive reelle Zahl beschrieben werden soll. Nur wenn das Objekt verschwindend klein ist, dann soll es die Null als Zahl zugewiesen bekommen. Weiter soll die „vielfache Größe“ eines Objekts sich auch linear in der die Größe beschreibenden reellen Zahl entsprechend bemerkbar machen. Und schließlich soll ein „Umweg“ nicht kleiner sein als der „direkte Weg“, d.h. die Länge eines additiv aus zwei Objekten entstandenen Objekts soll nicht größer sein als die Summe der Längen der zwei Objekte. Diese Forderungen führen uns zu der Definition einer Norm.

Definition der Norm

Formal ist eine Norm eine Abbildung, die einem Element eines Vektorraums über den reellen oder komplexen Zahlen eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet und die drei Eigenschaften Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität besitzt. Eine Norm kann (muss aber nicht) von einem Skalarprodukt abgeleitet werden. Wird ein Vektorraum mit einer Norm versehen, erhält man einen normierten Raum mit wichtigen analytischen Eigenschaften, da jede Norm auf einem Vektorraum auch eine Metrik und damit eine Topologie induziert. Zwei zueinander äquivalente Normen induzieren dabei die gleiche Topologie, wobei auf endlichdimensionalen Vektorräumen alle Normen zueinander äquivalent sind.[1]

Normsymbol

Darstellung der Norm von x: $\|$ x $\|$

Beispiele

Standardbeispiele

- euklidische Norm
- Summen-Norm
- Maximum-Norm
- p-Normen auch Minkowski-Metrik genannt.
Wichtige Spezialfälle sind

• die Manhattan-Metrik zu $p=1$
• die Euklidische Metrik zu $p=2$
• die Maximum-Metrik zu $p=\infty$
  

Normen auf Matrizen - Zeilensummennorm (siehe auch Zeilensummennorm bei Wikipedia)

…

non-Standard-Beispiele

Norm einer Funktion induzierte Norm …

Negativbeispiele

1. euklidische Norm im Quadrat
2. ein Paketdienst nutzt zur Preisbestimmung (neben dem Gewicht) die Summe aus maximaler und minimaler Ausdehnung des Versandstücks.
Ist diese Summe mit den drei Koordinaten Länge, Breite und Höhe im R3 eine Norm?

Einheitsvektor, Normierung von Vektoren

...

Definition der Metrik und des metrischen Raums

Hinführung

Was macht einen Abstand aus?
Wo macht es Sinn, eine Metrik zu definieren? nicht nur in linearen Vektorräumen

Definition

Metrik: Definitheit, Symmetrie, Dreiecksungleichung
Metrischer Vektorraum und (allgemein) metrischer Raum: …:
...

Darstellung der Metrik: d(x,y) = || x-y ||

Eigenschaften

Skalarprodukt

Kurze Rekapitulation des Skalarprodukts
durch das Skalarprodukt induzierten Norm (Hilbertnorm)
Eigenschaften und Darstellungsform der Hilbertnorm

Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

Cauchy-Schwarzsche Ungleichung im euklidischen (oder unitären) Vektorraum
Beweis der CS-Ungleichung
Gleichheit iff lineare Unabhängigkeit

Beispiele

Standardbeispiele

Nehmen wir die obigen Beispiele für Normen in einem Vektorraum, dann lassen sich entsprechende Metriken durch $d(x,y)\equiv \|x-y\|$ „induzieren“, so z.B.
- p-Normen auch Minkowski-Metrik genannt.
Wichtige Spezialfälle sind

• die Manhattan-Metrik zu $p=1$
• die Euklidische Metrik zu $p=2$
• die Maximum-Metrik zu $p=\infty$
  

non-Standard-Beispiele

Luftlinie (unter Berücksichtigung der Kugelgestalt) eine Metrik?

Diskrete Metrik

$d(x,y):={\begin{cases}0&{\text{falls }}x=y\\1&{\text{falls }}x\neq y.\end{cases}}$

Hausdorff-Metrik
Hamming-Abstand

Negativbeispiele

...

Konsequenzen

Mit jeder Norm kann ein Abstand definiert werden. Es gibt also nicht „den einen“ Abstand.
Ein Abstand kann auch definiert werden, ohne dass eine Norm zugrunde liegt. (siehe Beispiel diskrete Metrik)

Anwendungsgebiete, Anwendungsbeispiele

Anwendungen:
1. Abstand für Clusteranalyse
Bei der Clusteranalyse gilt es, „ähnliche“ Objekte zu gruppieren. Dazu wird jedem Objekt ein Punkt im Vektorraum zugeordnet, wobei dieser durch die Merkmale der Objekte aufgespannt wird. Als Ähnlichkeitsmaß kann der Abstand zwischen Punkten dienen, der mittels einer der Metriken berechnet wird. Neben der üblichen euklidischen Metrik können auch andere Metriken zweckdienlich sein.
2. ...

Einiges zur Geschichte

Die axiomatische Definition der Norm wurde von Stefan Banach 1922 in seiner Dissertation aufgestellt. Das heute übliche Normsymbol wurde erstmals von Erhard Schmidt 1908 als Abstand $\|x-y\|$ zwischen Vektoren $x$ und $y$ verwendet. Metrische Räume wurden (erst) 1906 von Maurice Fréchet eingeführt; die Bezeichnung „metrischer Raum“ wurde von Felix Hausdorff geprägt.

Literatur

G. Fischer: Lineare Algebra, Vieweg, Braunschweig, Wiesbaden 1989
H. Graueret, H.-Ch. Grunau: Lineare Algebra, Oldenbourg Verlag 1999 ...

Links

• Wikipedia-Artikel über Norm

• Wikipedia-Artikel über Metrik

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