Mathe für Nicht-Freaks: Analysis 2/Satz über Integrierbarkeit stetiger Funktionen

Satz über Integrierbarkeit stetiger Funktionen

Satz (Integrierbarkeit stetiger Funktionen)

Jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall ist integrierbar.

Beweis

Sei $\epsilon >0$. $f$ ist stetig auf einem kompakten Intervall und daher, nach dem Satz von Heine, insbesondere gleichmäßig stetig. D.h.:

$\forall \epsilon >0\,\exists \delta >0\,\forall {\tilde {x}}\in D\,\forall x\in D:|x-{\tilde {x}}|<\delta \implies |f(x)-f({\tilde {x}})|<\epsilon$.

Sei T eine Teilung mit Feinheit kleiner $\delta$. So gilt das besagte auf dem Teilintervall $[x_{k-1},x_{k}]$ für besagte $x,{\tilde {x}}$, sodass

$\sup _{[x_{k-1},x_{k}]}f-\inf _{[x_{k-1},x_{k}]}f\leq \varepsilon$.

Nach Multiplizieren mit $(x_{k}-x_{k-1})$ und Summieren über $k$ ergibt sich:

${\overline {S}}(f,T)-{\underline {S}}(f,T)\leq \varepsilon \mathop {\sum } \limits _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})=\varepsilon (b-a).Weil$ $\varepsilon$ beliebig war, folgt die Behauptung.