Abstellraum/ Treppenfunktionen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Treppenfunktionen

Wir haben das Integral $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$ einer riemannintegrierbaren Funktion $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ mit $a,b\in \mathbb {R}$ und $a<b$ definiert als

$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x:=\lim _{\mu ({\mathcal {Z}},{\mathcal {T}})\to 0}S(f,{\mathcal {Z}},{\mathcal {T}})$

Dabei ist $({\mathcal {Z}},{\mathcal {T}})$ eine Unterteilung, $\mu ({\mathcal {Z}},{\mathcal {T}})$ die Feinheit der Unterteilung und $S(f,{\mathcal {Z}},{\mathcal {T}})$ die Riemannsumme.

Wie können wir das Integral von beliebigen Funktionen bestimmen? Wir betrachten zunächst Funktionen, von denen wir das Integral leicht bestimmen können. Die folgenden Beispiele zeigen solche Funktionen.

To-Do:

Beispiele einfügen

Das sind Treppenfunktionen.

Definition

Definition (Treppenfunktion)

Eine Funktion $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ mit $a,b\in \mathbb {R}$ und $a<b$ heißt Treppenfunktion, falls es ein $n\in \mathbb {N}$ gibt und $x_{0},\ldots ,x_{n}\in [a,b]$ mit $a=x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}=b$, so dass es für alle $i\in \{0,\ldots ,n-1\}$ ein $c_{i}\in \mathbb {R}$ gibt mit $f(x)=c_{i}$ für alle $x\in [x_{i},x_{i+1}[$ für $i\neq n-1$ bzw. $x\in [x_{n-1},x_{n}]$ für $i=n-1$.

Wie können wir das Integral $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$ für eine Treppenfunktion $f$ berechnen?

To-Do:

Bild von einer Treppenfunktion mit $n$ Rechtecken

Anschaulich entspricht das Integral der Fläche unter dem Graphen. Diese Fläche können wir in $n$ Rechtecke unterteilen. Das $i$-te Rechteck hat die Breite $x_{i+1}-x_{i}$ und die Höhe $c_{i}$. Insgesamt ergibt sich also für die Fläche unter dem Graphen von $f$

$\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_{i})c_{i}$

Wir beweisen nun, dass dies dem Integral $\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$ entspricht.

Satz

Sei $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ mit $a,b\in \mathbb {R}$ und $a<b$ eine Treppenfunktion. Seien $x_{0},\ldots ,x_{n}\in [a,b]$ mit $a=x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}=b$. Weiter sei $c_{i}\in \mathbb {R}$ für alle $i\in \{0,\ldots ,n-1\}$, so dass $f(x)=c_{i}$ für alle $x\in [x_{i},x_{i+1}[$ für $i\neq n-1$ bzw. $x\in [x_{n-1},x_{n}]$ für $i=n-1$. Dann gilt

$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_{i})c_{i}$

Beweis

Sei $({\mathcal {Z}},{\mathcal {T}})$ eine Unterteilung von $[a,b]$ mit ${\mathcal {Z}}=\{z_{0},\ldots ,z_{m}\}$ und ${\mathcal {T}}=\{t_{0},\ldots ,t_{m-1}\}$ für ein $m\in \mathbb {N}$ mit $t_{j}\in [z_{j},z_{j+1}]$ für alle $j\in \{0,\ldots ,m-1\}$.