Abstellraum/ Treppenfunktionen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“


TreppenfunktionenBearbeiten

Wir haben das Integral   einer riemannintegrierbaren Funktion   mit   und   definiert als

 

Dabei ist   eine Unterteilung,   die Feinheit der Unterteilung und   die Riemannsumme.

Wie können wir das Integral von beliebigen Funktionen bestimmen? Wir betrachten zunächst Funktionen, von denen wir das Integral leicht bestimmen können. Die folgenden Beispiele zeigen solche Funktionen.

To-Do:

Beispiele einfügen

Das sind Treppenfunktionen.

DefinitionBearbeiten

Definition (Treppenfunktion)

Eine Funktion   mit   und   heißt Treppenfunktion, falls es ein   gibt und   mit  , so dass es für alle   ein   gibt mit   für alle   für   bzw.   für  .

Wie können wir das Integral   für eine Treppenfunktion   berechnen?

To-Do:

Bild von einer Treppenfunktion mit   Rechtecken

Anschaulich entspricht das Integral der Fläche unter dem Graphen. Diese Fläche können wir in   Rechtecke unterteilen. Das  -te Rechteck hat die Breite   und die Höhe  . Insgesamt ergibt sich also für die Fläche unter dem Graphen von  

 

Wir beweisen nun, dass dies dem Integral   entspricht.

Satz

Sei   mit   und   eine Treppenfunktion. Seien   mit  . Weiter sei   für alle  , so dass   für alle   für   bzw.   für  . Dann gilt

 

Beweis

Sei   eine Unterteilung von   mit   und   für ein   mit   für alle  .