Abstellraum/ Fortgeschrittene Substitutionen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“


Fortgeschrittene SubstitutionenBearbeiten

Weierstraß-SubstitutionBearbeiten

To-Do:

Fortgeschrittene Substitutionen in eigenes Kapitel

Mit Hilfe der Substitutionsregel können darüber hinaus auch trigonometrische Funktionen aus dem Integranden „wegsubstituiert“ werden. Hierzu betrachten wir die Arkustangens-Substitution.

Beispiel (Weierstraß-Substitution)

Sei folgendes Problem gegeben: Die Funktion   mit   für alle   und das unbestimmte Integral  .

Wir substituieren  . Daraus ergibt sich   und  . Mit Hilfe des Zusammenhangs   können wir schreiben:

  =  . Kürzen liefert das sympathische unbestimmte Integral  , dessen Menge aller Stammfunktionen wir mit   angeben können. Mit   können wir also schreiben:

 .

Mittels eines trigonometrischen Zusammenhangs für   und mit Hilfe der Rechenregeln für den Logarithmus lässt sich das Ergebnis theoretisch noch weiter umformen.

Hinweis

Anzumerken ist, dass die gleiche Arkustangens-Substitution ein   im Integranden ebenfalls völlig analog problemlos eliminiert.

Da wir im Beispiel den Zusammenhang   verwendet haben, beweisen wir diesen nachträglich kurz:

Beweis

Es sei  .

So gilt  . Umstellen liefert:  . Mit Hilfe des Satz von Pythagoras folgt  . Quadrieren, Ausmultiplizieren, Umstellen nach   und Radizieren liefert schließlich den Zusammenhang   für alle  . Analoges Vorgehen liefert den Zusammenhang  .

Da   mit   gilt, folgt durch Einsetzen   unserere Behauptung.

Der Zusammenhang  , der für die Elimination von Kosinusausdrücken im Integranden benötigt wird, folgt unmittelbar aus  .

Euler-SubstitutionBearbeiten

Bei der Euler-Substitution handelt es sich um eine Substitution für Integrale folgender Form:

  oder  

Die Substitution ist ziemlich ungewöhnlich und variiert je nach Wahl der Parameter   und  . Daher müssen mehrere Fälle unterschieden werden.

1. Euler-SubstitutionBearbeiten

Die erste Euler-Substitution kann verwendet werden, wenn  . Dann substituieren wir

  oder  

Beispiel (Erste Euler-Substitution)

Sei folgendes Problem gegeben:  .

Wir verwenden nun die Substitution  . Für die Ableitung folgt   und umgestellt:  . Die Umkehrfunktion lautet  .

Insgesamt ergibt sich:

 

2. Euler-SubstitutionBearbeiten

Die zweite Euler-Substitution kann verwendet werden, wenn  . Dann substituieren wir

  oder  

3. Euler-SubstitutionBearbeiten

Die dritte Euler-Substitution kann verwendet werden, wenn   die reellen Nullstellen   und   hat.