Abstellraum/ Fortgeschrittene Substitutionen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Fortgeschrittene Substitutionen

Weierstraß-Substitution

To-Do:

Fortgeschrittene Substitutionen in eigenes Kapitel

Mit Hilfe der Substitutionsregel können darüber hinaus auch trigonometrische Funktionen aus dem Integranden „wegsubstituiert“ werden. Hierzu betrachten wir die Arkustangens-Substitution.

Beispiel (Weierstraß-Substitution)

Sei folgendes Problem gegeben: Die Funktion $f:]0;\pi [\to \mathbb {R}$ mit $f(x)={\frac {1}{\sin(x)}}$ für alle Mathe $x\in ]0;\pi [$ und das unbestimmte Integral $\int {\frac {1}{\sin(x)}}\,\mathrm {d} x$ .

Wir substituieren $x=2\arctan(t)$ . Daraus ergibt sich $\mathrm {d} x={\frac {2}{1+t^{2}}}\,\mathrm {d} t$ und $t=\tan \left({\frac {x}{2}}\right)$ . Mit Hilfe des Zusammenhangs $\sin(2\arctan(t))={\frac {2t}{1+t^{2}}}$ können wir schreiben:

$\int {\frac {1}{\sin(x)}}\,\mathrm {d} x$ = $\int {\frac {1}{\frac {2t}{1+t^{2}}}}\,\cdot {\frac {2}{1+t^{2}}}\mathrm {d} t$ . Kürzen liefert das sympathische unbestimmte Integral $\int {\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t$ , dessen Menge aller Stammfunktionen wir mit $F(t)=\log(t)+C$ angeben können. Mit $t=\tan \left({\frac {x}{2}}\right)$ können wir also schreiben:

$\int {\frac {1}{\sin(x)}}\,\mathrm {d} x=\log \left(\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right)+C$ .

Mittels eines trigonometrischen Zusammenhangs für $\tan \left({\frac {x}{2}}\right)$ und mit Hilfe der Rechenregeln für den Logarithmus lässt sich das Ergebnis theoretisch noch weiter umformen.

Hinweis

Anzumerken ist, dass die gleiche Arkustangens-Substitution ein $\cos(x)$ im Integranden ebenfalls völlig analog problemlos eliminiert.

Da wir im Beispiel den Zusammenhang $\sin(2\arctan(t))={\frac {2t}{1+t^{2}}}$ verwendet haben, beweisen wir diesen nachträglich kurz:

Beweis

Es sei $x\in \mathbb {R}$ .

So gilt $x=\tan(\arctan(x))={\frac {\sin(\arctan(x))}{\cos(\arctan(x))}}$ . Umstellen liefert: $x\cdot \cos(\arctan(x))=\sin(\arctan(x))$ . Mit Hilfe des Satz von Pythagoras folgt $x\cdot {\sqrt {1-\sin ^{2}(\arctan(x))}}=\sin(\arctan(x))$ . Quadrieren, Ausmultiplizieren, Umstellen nach $\sin ^{2}(\arctan(x))$ und Radizieren liefert schließlich den Zusammenhang $\sin(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$ für alle $x\in \mathbb {R}$ . Analoges Vorgehen liefert den Zusammenhang $\cos(\arctan(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$ .

Da $\sin(2{\tilde {x}})=2\sin({\tilde {x}})\cos({\tilde {x}})$ mit ${\tilde {x}}=\arctan(x)$ gilt, folgt durch Einsetzen $\sin(2\arctan(x))={\frac {2x}{1+x^{2}}}$ unserere Behauptung.

Der Zusammenhang $\cos(2\arctan(x))={\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}$ , der für die Elimination von Kosinusausdrücken im Integranden benötigt wird, folgt unmittelbar aus $\cos(2{\tilde {x}})=\cos ^{2}({\tilde {x}})-\sin ^{2}({\tilde {x}})$ .

Euler-Substitution

Bei der Euler-Substitution handelt es sich um eine Substitution für Integrale folgender Form:

\int {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\;\mathrm {d} x

oder

\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}

Die Substitution ist ziemlich ungewöhnlich und variiert je nach Wahl der Parameter $a,b$ und $c$ . Daher müssen mehrere Fälle unterschieden werden.

1. Euler-Substitution

Die erste Euler-Substitution kann verwendet werden, wenn $a>0$ . Dann substituieren wir

t(x)={\sqrt {ax^{2}+bx+c}}+x{\sqrt {a}}

oder

t(x)={\sqrt {ax^{2}+bx+c}}-x{\sqrt {a}}

Beispiel (Erste Euler-Substitution)

Sei folgendes Problem gegeben: $\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\,\mathrm {d} x$ .

Wir verwenden nun die Substitution $t(x)={\sqrt {x^{2}+1}}+x$ . Für die Ableitung folgt ${\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} x}}={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}+1$ und umgestellt: ${\mathrm {d} x}={\frac {1}{{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}+1}}\mathrm {d} t$ . Die Umkehrfunktion lautet $x(t)={\frac {t}{2}}-{\frac {1}{2t}}$ .