Abstellraum/ Banachscher Fixpunktsatz – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“


Vertiefung für Fortgeschrittene: Der Banachsche Fixpunktsatz in

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Mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums können wir nun ein praktisches Konvergenzkriterium, den Banachschen Fixpunktsatz herleiten. Für diesen benötigen wir zunächst die folgenden Definitionen:

Definition (Fixpunkt)

Sei   und   eine Abbildung. Ein   heißt Fixpunkt von  , falls

 

Nun kann eine Abbildung beliebig viele Fixpunkte haben. So hat beispielsweise   jedes   als Fixpunkt. Dies kann allerdings nicht der Fall sein, wenn wir die Voraussetzungen an   verschärfen:

Definition (Kontraktion)

Sei  . Eine Abbildung   heißt Kontraktion, falls es für alle   ein   gibt mit

 

Nun gilt der folgende

Satz (Eindeutigkeit des Fixpunktes)

Sei   und   eine Kontraktion, dann hat   höchstens einen Fixpunkt.

Beweis (Eindeutigkeit des Fixpunktes)

Dies zeigen wir am besten mit Widerspruch. Wir nehmen an,   hat zwei Fixpunkte   und   und  . Es gilt also   und  . Dann folgt aber

 

Das ist ein Widerspruch. Also ist   der gleiche Fixpunkt und somit hat   nur einen Fixpunkt.

Die Kontraktion benötigen wir nun als Voraussetzung für den Fixpunktsatz:

Satz (Banachscher Fixpunktsatz)

Ist   eine Kontraktion von einem nicht leeren vollständigen metrischen Raum  , in sich selber, so hat   einen Fixpunkt.

Beweis

Wegen   existiert ein  . Wir definieren rekursiv die Folge  .

Mithilfe von Induktion zeigen wir, dass  . Für   ist die Behauptung trivial.

  Für   gilt nach der Dreiecksungleichung:

 .

Weil   konvergiert die rechte Seite nach   für  . Demnach ist   eine Chauchy-Folge. Weil   vollständig ist, konvergiert die Folge   zu einem  . Wegen der Stetigkeit von   gilt:

 .