Abstellraum/ Banachscher Fixpunktsatz – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Vertiefung für Fortgeschrittene: Der Banachsche Fixpunktsatz in $\mathbb {R}$

Mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums können wir nun ein praktisches Konvergenzkriterium, den Banachschen Fixpunktsatz herleiten. Für diesen benötigen wir zunächst die folgenden Definitionen:

Definition (Fixpunkt)

Sei $M\subset \mathbb {R}$ und $f:M\to M$ eine Abbildung. Ein $x^{*}\in M$ heißt Fixpunkt von $f$, falls

$f(x^{*})=x^{*}$

Nun kann eine Abbildung beliebig viele Fixpunkte haben. So hat beispielsweise $f:[0,1]\to [0,1],\ f(x)=x$ jedes $x*\in [0,1]$ als Fixpunkt. Dies kann allerdings nicht der Fall sein, wenn wir die Voraussetzungen an $f$ verschärfen:

Definition (Kontraktion)

Sei $M\subset \mathbb {R}$. Eine Abbildung $f:M\to M$ heißt Kontraktion, falls es für alle $x,y\in M$ ein $0\leq q<1$ gibt mit

$|f(x)-f(y)|\leq q\cdot |x-y|$

Nun gilt der folgende

Satz (Eindeutigkeit des Fixpunktes)

Sei $M\subset \mathbb {R}$ und $f:M\to M$ eine Kontraktion, dann hat $f$ höchstens einen Fixpunkt.

Beweis (Eindeutigkeit des Fixpunktes)

Dies zeigen wir am besten mit Widerspruch. Wir nehmen an, $f$ hat zwei Fixpunkte $x*\in M$ und $y^{*}\in M$, d.h. es gilt $f(x^{*})=x^{*}$ und $f(y^{*})=y^{*}$. Dann folgt aber

$|f(x^{*})-f(y^{*})|{\overset {f{\text{ Kontraktion}}}{\leq }}q\cdot |x^{*}-y^{*}|{\underset {\text{Fixpunkte}}{\overset {x^{*},y^{*}}{=}}}\underbrace {q} _{0\leq ...<1}\cdot |f(x^{*})-f(y^{*})|<|f(x^{*})-f(y^{*})|$ ↯

Also hat $f$ höchstens einen Fixpunkt.

Die Kontraktion benötigen wir nun als Voraussetzung für den Fixpunktsatz:

Satz (Fixpunktsatz von Banach)

Sei $M=[a,b]$ ein abgeschlossenens Intervall und $f:M\to M$ eine Kontraktion, dann gilt

• Für jede in $M$ konvergente Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a$ gilt $\lim _{n\to \infty }f(a_{n})=f(a)$.
• Die rekursiv definierte Folge $x_{n+1}=f(x_{n})$ (Fixpunktiteration) mit einem beliebigen Startwert $x_{0}\in M$ konvergiert gegen den Fixpunkt von $f$.