Abstellraum/ Banachscher Fixpunktsatz – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Vertiefung für Fortgeschrittene: Der Banachsche Fixpunktsatz in $\mathbb {R}$

Mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums können wir nun ein praktisches Konvergenzkriterium, den Banachschen Fixpunktsatz herleiten. Für diesen benötigen wir zunächst die folgenden Definitionen:

Definition (Fixpunkt)

Sei $M\subset \mathbb {R}$ und $f:M\to M$ eine Abbildung. Ein $x^{*}\in M$ heißt Fixpunkt von $f$, falls

$f(x^{*})=x^{*}$

Nun kann eine Abbildung beliebig viele Fixpunkte haben. So hat beispielsweise $f:[0,1]\to [0,1],\ f(x)=x$ jedes $x*\in [0,1]$ als Fixpunkt. Dies kann allerdings nicht der Fall sein, wenn wir die Voraussetzungen an $f$ verschärfen:

Definition (Kontraktion)

Sei $M\subset \mathbb {R}$. Eine Abbildung $f:M\to M$ heißt Kontraktion, falls es für alle $x,y\in M$ ein $0\leq q<1$ gibt mit

$|f(x)-f(y)|\leq q\cdot |x-y|$

Nun gilt der folgende

Satz (Eindeutigkeit des Fixpunktes)

Sei $M\subset \mathbb {R}$ und $f:M\to M$ eine Kontraktion, dann hat $f$ höchstens einen Fixpunkt.

Beweis (Eindeutigkeit des Fixpunktes)

Dies zeigen wir am besten mit Widerspruch. Wir nehmen an, $f$ hat zwei Fixpunkte $x^{*}\in M$ und $y^{*}\in M$ und $x^{*}\neq y^{*}$. Es gilt also $f(x^{*})=x^{*}$ und $f(y^{*})=y^{*}$. Dann folgt aber

$|x^{*}-y^{*}|{\underset {\text{ Fixpunkte }}{\overset {x^{*},y^{*}}{=}}}|f(x^{*})-f(y^{*})|{\overset {f{\text{ Kontraktion}}}{\leq }}\underbrace {q} _{0\leq ...<1}\cdot \underbrace {|x^{*}-y^{*}|} _{>0}<|x^{*}-y^{*}|$↯

Das ist ein Widerspruch. Also ist $x^{*}=y^{*}$ der gleiche Fixpunkt und somit hat $f$ nur einen Fixpunkt.

Die Kontraktion benötigen wir nun als Voraussetzung für den Fixpunktsatz:

Satz (Banachscher Fixpunktsatz)

Ist $f:X\rightarrow X$ eine Kontraktion von einem nicht leeren vollständigen metrischen Raum $X$, in sich selber, so hat $f$ einen Fixpunkt.

Beweis

Wegen $X\neq \emptyset$ existiert ein $x_{0}\in X$. Wir definieren rekursiv die Folge $x_{k+1}=f(x_{k})$.

Mithilfe von Induktion zeigen wir, dass $d(x_{k+1},x_{k})\leq c^{k}d(x_{1},x_{0})$. Für $k=0$ ist die Behauptung trivial.

$d(x_{k+2},x_{k+1})=d(f(x_{k+1}),f(x_{k}))\leq cd(x_{k+1},x_{k})\leq c^{k+1}d(x_{1},x_{0}).$ Für $k\leq l$ gilt nach der Dreiecksungleichung:

$d(x_{l},x_{k})\leq \mathop {\sum } \limits _{i=k}^{l-1}d(x_{i+1},x_{i})\leq \mathop {\sum } \limits _{i=k}^{l-1}c^{k}d(x_{1},x_{0})\leq {\frac {c^{k}}{1-c}}d(x_{1},x_{0})$.

Weil $|c|<1$ konvergiert die rechte Seite nach $0$ für $k\to \infty$. Demnach ist $x_{k}$ eine Chauchy-Folge. Weil $X$ vollständig ist, konvergiert die Folge $x_{k}$ zu einem $a\in X$. Wegen der Stetigkeit von $f$ gilt:

$f(a)=\lim _{k\to \infty }f(x_{k})=\lim _{k\to \infty }(x_{k+1})=a$.