Abstellraum/ Aufgaben zu Taylorreihen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“


Aufgabe (Approximation der Umkehrfunktion)

Betrachte die Funktion

Berechne für das Taylor-Polynom 2.Ordnung

Lösung (Approximation der Umkehrfunktion)

Schritt 1: Existenz und Berechnung von

ist auf differenzierbar als Quotient der beiden differenzierbaren Funktionen und mit der Ableitung

Weiter ist , da für . Also ist nach dem Monotoniektiterium streng monoton steigend und damit injektiv. Daher ist bijektiv. Weiter ist , also , und es gilt . Damit ist in differenzierbar mit

Schritt 2: Existenz und Berechnung von

ist auf nach der Quotientenregel differenzierbar mit

Damit ist nach der Quotienten- und Kettenregel differenzierbar, und es gilt mit :