Abstellraum/ Aufgaben zu Taylorreihen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Aufgabe (Approximation der Umkehrfunktion)

Betrachte die Funktion

$g:(0,e)\to (-\infty ,{\tfrac {1}{e}}),\ g(x)={\tfrac {\ln x}{x}}$

Berechne für $g^{-1}$ das Taylor-Polynom 2.Ordnung

Lösung (Approximation der Umkehrfunktion)

Schritt 1: Existenz und Berechnung von $(g^{-1})'(0)$

$g$ ist auf $(0,e)$ differenzierbar als Quotient der beiden differenzierbaren Funktionen $\ln$ und ${\text{id}}$ mit der Ableitung

$g'(x)={\frac {1-\ln x}{x^{2}}}$

Weiter ist $g'(x)={\frac {1-\ln x}{x^{2}}}>0$, da $\ln x<1$ für $x\in (0,e)$. Also ist $g$ nach dem Monotoniektiterium streng monoton steigend und damit injektiv. Daher ist $g:(0,e)\to g(]0,e[)$ bijektiv. Weiter ist $g(1)=0$, also $0\in g(]0,e[)$, und es gilt $g'(1)=1\neq 0$. Damit ist $g^{-1}$ in $0$ differenzierbar mit

$(g^{-1})'(0)={\frac {1}{g'(1)}}=1$

Schritt 2: Existenz und Berechnung von $(g^{-1})''(0)$

$g'$ ist auf $(0,e)$ nach der Quotientenregel differenzierbar mit

$g''(x)={\frac {-x-(1-\ln x)2x}{x^{4}}}={\frac {-3-2\ln x}{x^{3}}}$

Damit ist $(g^{-1})'={\tfrac {1}{g'\circ g^{-1}}}$ nach der Quotienten- und Kettenregel differenzierbar, und es gilt mit $g''(1)={\tfrac {-3-0}{1^{3}}}=-3$:

$(g^{-1})''(0)={\frac {0-g''(g^{-1}(0))((g^{-1})'(0))}{(g'(g^{-1}(0))^{2}}}=-{\frac {g''(g^{-1}(0))}{(g'(g^{-1}(0))^{3}}}=-{\frac {g''(1)}{(g'(1)^{3}}}=-{\frac {-3}{1}}=3$