Abstellraum/Summen und innere direkte Summen von mehr als zwei Unterräumen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Notation

In diesem Artikel sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum.

Wir bezeichnen Unterräume von $V$ oft mit $U_{i},i\in \mathbb {N}$ und $W$.

Summen von mehr als zwei Unterräumen

Motivation

Wir haben definiert, was die Summe von zwei Vektorräumen ist. Nun kann man sich fragen, wie und ob man das Konzept der Summe von Vektorräumen auf mehrere oder gar (abzählbar oder überabzählbar) unendlich viele Summanden verallgemeinern kann. Wir haben bereits bewiesen, dass die Summe von Vektorräumen assoziativ und kommutativ ist, genauso wie die Addition von (beispielweise rationalen) Zahlen. Dies erlaubt uns die Schreibweise für Summen über mehr als zwei Summanden einzuführen und ihr einen eindeutigen Wert zuzuweisen. Zum Beispiel gilt

${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{4}n^{2}=30.\end{aligned}}$

Dabei spielt es keine Rolle, ob wir zum Beispiel $(((1+4)+9)+16)$ oder $(1+9)+(4+16)$ berechnen. Mit der selben Begründung könnten wir die Summe von endlichen vielen Vektorräumen definieren.

To-Do:

Hier etwas ausführlicher

Aber was ist mit der Summe von unendlich vielen Vektorräumen? Der selbe Ansatz macht bei unendlich vielen Vektorräumen keinen Sinn, ähnlich wie man nicht einfach unendlich viele ganze Zahlen aufsummieren kann und ein sinnvolles Ergebnis erwartet.

In der Definition der Summe von zwei Vektorräumen $U_{1}$ und $U_{2}$ kommen Vektorräume $W$ vor, die sowohl $U_{1}$ als auch $U_{2}$ enthalten. An dieser Stelle können wir die Definition verallgemeinern. Wir können nämlich einfach fordern, dass $W$ unendlich viele vorgegebene Vektorräume enthält. Wir haben also folgende Definition:

Definition

• Wir hatten zwei Definitionen von Summen
• die mit dem Schnitt kann man tatsächlich leicht verallgemeinern
• nochmal Herleitung der Schnittdefinition wiederholen auf den allgemeinen Fall angepasst

Definition (Summe von unendlich vielen Vektorräumen)

Sei $I$ eine Indexmenge und sei für jedes $i\in I$ ein Untervektorraum $U_{i}$ von $V$ gegeben. Die Summe $\sum _{i\in I}U_{i}$ ist definiert als der Schnitt aller Unterräume $W\subseteq V$ mit $U_{i}\subseteq W$ für alle $i\in I$. In Formeln bedeutet dies:

${\begin{aligned}\sum _{i\in I}U_{i}:=\bigcap _{W\subseteq V{\text{ Unterraum}} \atop U_{i}\subseteq W{\text{ für alle }}i\in I}W.\end{aligned}}$

Hinweis

Wie bei der Summe von zwei Vektorräumen ist klar, dass $W$ eine Teilemenge von $V$ und sogar ein Untervektorraum ist.

Hinweis

Wir sehen, dass sich im Fall $|I|=2$ die Definition der Summe von zwei Vektorräumen ergibt. Weiter stimmt die Definition für endliche Indexmengen $I$ (also $|I|=n\in \mathbb {N}$) mit der Definition der Summe von $n$ Untervektorräumen überein.

Hinweis

Im Falle $I=\emptyset$ wird der Schnitt über alle Untervektorräume von $V$ genommen. Insbesondere also auch über den Nullraum. Daher gilt $\sum _{i\in \emptyset }U_{i}=0$, in Analogie zur leeren Summe über (rationalen) Zahlen.

Äquivalente Charakterisierungen

• wir hatten eine explizitere Definiton für die Summe von zwei Vektorräumen
• da haben wir einfach alles dazugetan, was noch gefehlt hat
• was heißt das im allgemeinen Fall?

Satz (Äquivalente Charakterisierung der Summe von beliebig vielen Untervektorräumen)

Sei $I$ eine Indexmenge und sei für jedes $i\in I$ ein Untervektorraum $U_{i}$ von $V$ gegeben. Dann gilt:

${\begin{aligned}\sum _{i\in I}U_{i}=\left\{\,\sum _{i\in I}u_{i}{\bigg \vert }u_{i}\in U_{i}{\text{ für alle }}i\in I,u_{i}=0{\text{ für alle bis auf endlich viele }}i\in I\,\right\}.\end{aligned}}$

To-Do:

Beweis

Man kann das obige auch ein wenig anders aufschreiben:

Satz (Äquivalente Charakterisierung der Summe von beliebig vielen Untervektorräumen (II))

Sei $I$ eine Indexmenge und sei für jedes $i\in I$ ein Untervektorraum $U_{i}$ von $V$ gegeben. Dann gilt:

${\begin{aligned}\sum _{i\in I}U_{i}=\bigcup _{J\subset I{\text{ endlich}}}\sum _{j\in J}U_{j}.\end{aligned}}$

To-Do:

Beweis

Beispiele und Aufgaben

To-Do:

• Beispiel: K^n direkte Summe der Einheitsvektoren
• irgendein beispiel wo tatsächlich alle unendlich vielen summanden benötigt werden (z.B. Folgenraum, Einheitsvektoren -> Folgen mit endlichen Träger)
• Aufgaben

Direkte Summen von mehr als zwei Unterräumen

Motivation

• wie bei zwei Summanden: wir wollen Eindeutigkeit
• was heißt das in diesem Fall?

Definition

Definition (Innere direkte Summe)

Seien $V$ ein $K$-Vektorraum und $\{V_{i}\}_{i\in I}$ eine durch eine beliebige Indexmenge $I$ indizierte Familie von Untervektorräumen von $V$. Man sagt, dass $V$ die innere direkte Summe der $V_{i}$ ist und schreibt

$V=\bigoplus _{i\in I}V_{i},$

falls sich jeder Vektor aus $V$ in eindeutiger Weise als Summe endlich vieler Vektoren, die in paarweise verschiedenen der $V_{i}$ liegen, darstellen lässt, d.h.

1. Für jeden Vektor $v\in V$ existiert eine endliche Teilmenge $J\subseteq I$ und für jedes $j\in J$ ein Vektor $v_{j}\in V_{j}$, sodass
   $v=\sum _{j\in J}v_{j}.$
2. Für jede endliche Teilmenge $J\subseteq I$ und je zwei Darstellungen
   $v=\sum _{j\in J}v_{j}=\sum _{j\in J}v_{j}'$

   mit $v_{j},v_{j}'\in V_{j}$ für alle $j\in J$ gilt bereits $v_{j}=v_{j}'$ für alle $j\in J$.

Hinweis

Der Punkt 1. der obigen Definition besagt definitionsgemäß, dass $V$ die Summe der $V_{i}$ ist. Dafür schreibt man auch $V=+_{i\in I}V_{i}$Der Punkt 2. der obigen Definition lässt sich mit folgendem formalen Trick auch auf zwei Darstellungen eines Vektors aus $V$ anwenden, in denen über unterschiedliche endliche Indexmengen $J,J'\subseteq I$ summiert wird. Durch Hinzufügen von zusätzlichen Nullvektoren als Summanden kann man nämlich zu der gemeinsamen endlichen Indexmenge $J\cup J'\subseteq I$ übergehen.

To-Do:

Den Hinweis in die Definition packen/die Definition anders machen/etc.

To-Do:

Für ${Pipe}I{Pipe}=2$ ist das das selbe

Äquivalente Charakterisierung

To-Do:

Verallgemeinerte Schnittbedingung: Summe direkt $\iff$ für jedes $i\in I,J\subseteq I,i\notin J$ gilt: $U_{i}\cap \sum _{j\in J}U_{j}=\{0\}$.

To-Do:

Satz: Summe direkt $\iff$ für alle endlichen $J\subseteq I$ gilt $\sum _{j\in J}U_{j}=\oplus _{j\in J}U_{j}$.

To-Do:

Vereinfachte verallgemeinerte Schnittbedingung, wenn $I$ endlich: Summe direkt $\iff$ für jedes $i\in I$ gilt: $U_{i}\cap \sum _{j\in I \atop j\neq i}U_{j}=\{0\}$.

Beispiele und Aufgaben

To-Do:

Beispiele/Aufgaben