Mathe für Nicht-Freaks: Abstellraum/Skalarprodukt

Das Skalarprodukt

Das Skalarprodukt, das du sicherlich aus der Schule kennst, ist au der Sicht der Matrizen gesehen nichts anderes als die Multiplikation eines Zeilenvektors $a^{T}$ mit dem Spaltenvektor $b$. Wir betrachten dabei $a,\,b$ als Spaltenvektoren. Ist ${\vec {b}}=(b_{1},\ldots ,b_{n})^{T}$ ein Vektor mit n Komponenten, so kann er als eine Matrix vom Typ $(n\times 1)$ aufgefasst werden. Damit die $(n\times 1)$-Matrix $b$ (von links) mit einem weiteren Vektor ${\vec {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ mit n Komponenten multipliziert werden kann, müssen wir diesen vom Spalten- zum Zeilenvektor machen, d.h. zu einer $1\times n$-Matrix ${\mathfrak {a}}$, was durch Transponieren geschieht.

Also wird das Skalarprodukt zweier Vektoren definiert durch:

Definition (algebraische Definition des Skalarprodukts)

Sei ${\mathfrak {a}}\in K^{1,n}\quad {\mathfrak {b}}\in K^{n,1}$, dann ist das Sklarprodukt $s$ die Abbildung

$s\colon K^{1,n}\times K^{n,1}\to K;\quad s({\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}})=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}$

Hinweis

1. Das Kommutativgesetz gilt zwar bei Matrizen im Allgemeinen nicht, aber das Skalarprodukt ist nach Definition kommutativ!
2. Mit dieser Definition kannst du das Skalarprodukt leicht ausrechnen. Eine bessere geometrische Vorstellung erhältst du aber mit der geometrischen Definition weiter unten.
3. Um die Schreibweise zu vereinfachen schreiben wir zukünftig statt

$\quad \quad \quad K^{n,1}$ oder $K^{1,n}$ einfach nur $K^{n}$ und für $s({\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}})$ schreiben wir ${\vec {a}}\circ {\vec {b}}$

Aufgabe (Distributivität des Skalarprodukts)

Zeige, dass für ${\vec {a}},\,{\vec {b}},{\vec {c}}\in K^{n}$ gilt:

${\vec {a}}\circ ({\vec {b}}+{\vec {c}})={\vec {a}}\circ {\vec {b}}+{\vec {a}}\circ {\vec {c}}$

Lösung (Distributivität des Skalarprodukts)

${\vec {a}}\circ ({\vec {b}}+{\vec {c}})={\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}b_{1}+c_{1}\\\vdots \\b_{n}+c_{n}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}(b_{i}+c_{i})=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}b_{i}+a_{i}c_{i})=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}={\vec {a}}\circ {\vec {b}}+{\vec {a}}\circ {\vec {c}}$

Aufgabe (gemischtes Assoziativgesetz des Skalarprodukts)

Zeige, dass für ${\vec {a}},\,{\vec {b}}\,\in K^{n}\quad \land \quad \rho \in K$ gilt:

$(\rho \cdot {\vec {a}})\circ {\vec {b}}=\rho \cdot ({\vec {a}}\circ {\vec {b}})$

Lösung (gemischtes Assoziativgesetz des Skalarprodukts)

${\begin{aligned}(\rho \cdot {\vec {a}})\circ {\vec {b}}&=\,\left(\rho \cdot {\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\right)\circ {\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}=\\[0.3em]&=\,{\begin{pmatrix}\rho a_{1}\\\vdots \\\rho a_{n}\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}(\rho a_{i})b_{i}=\sum _{i=1}^{n}\rho (a_{i}b_{i})=\\[0.3em]&=\,\rho \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)=\rho ({\vec {a}}\circ {\vec {b}})\end{aligned}}$

Skalarprodukt im $\mathbb {R} ^{3}$

Das Skalarprodukt von Vektoren ist das Ergebnis einer Operation, die vom Vektorraum $\mathbb {R} ^{3}$ in den Körper $\mathbb {R}$ führt, somit ist das Ergebnis dieses Skalarprodukts ein Skalar, daher der Name. Im $\mathbb {R} ^{3}$ werden dazu die einzelnen Komponenten jeweils miteinander multipliziert und anschließend die Produkte addiert.

Skalarprodukt: $\left\langle {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}\right\rangle =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=s$.

Einige Eigenschaften des Skalarprodukts sind:

• Das Skalarprodukt ist kommutativ, da $\mathbb {R}$ bzgl. der Multiplikation kommutativ ist.
• Es gilt $\langle {\vec {a}},({\vec {b}}+{\vec {c}})\rangle =\langle ({\vec {a}},{\vec {b}})\rangle +\langle ({\vec {a}},{\vec {c}})\rangle$ (Distributivgesetz), da in $\mathbb {R}$ das Distributivgesetz gilt.
• Weiter gilt: $\langle (s{\vec {a}}),{\vec {b}}\rangle =s\cdot \langle ({\vec {a}},{\vec {b}})\rangle$ (Assoziativgesetz), da in $\mathbb {R}$ das Assoziativgesetz der Multiplikation gilt.

Wir werden das Skalarprodukt und seine Eigenschaften für einen allgemeinen Vektorraum später im Kapitel Vektorräume genauer behandeln.

Den Vektorraum $\mathbb {R} ^{n}$ nennt man auch euklidischen Vektorraum. Auf diesen speziellen Vektorraum gehen wir in einem späteren Kapitel ein.

Geometrische Berechnung im anschaulichen Raum

Wie wir Kapitel über euklidische Vektorräume schon gesehen haben, können wir das Skalarprodukt im anschaulichen Raum auch geometrisch herleiten. Die Vektoren stellen dabei Pfeile dar, die parallel, gleich lang und gleich orientiert sind. Diese Definition von Vektoren ist dir sicher aus deiner Schulzeit bekannt. Diese Definition bedeutet, dass jeder Vektor eine Äquivalenzklasse ist.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren im Anschauungsraum hängt von der Länge der Vektoren und dem eingeschlossenen Winkel ab.

Wir wollen geometrisch eine Verknüpfung von zwei Vektoren ${\vec {a}},\,{\vec {b}}\in \mathbb {R} ^{n}$ einführen, die den beiden Vektoren eine Zahl in $\mathbb {R}$ zuordnet. Wir nennen diese Verknüpfung Skalarprodukt und definieren sie geometrisch im euklidischen Raum und in der euklidischen Ebene wie folgt:

Definition (Geometrische Definition des Skalarprodukt)

Seien die Längen der Vektoren ${\vec {a}},\,{\vec {b}}\in \mathbb {R} ^{n}$ mit $|{\vec {a}}|,\,|{\vec {b}}|$ bezeichnet. Sei weiterhin $\varphi =\sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}})$ der von ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ eingeschlossenen Winkel, dann ist das Skalarprodukt

${\vec {a}}\circ {\vec {b}}={\begin{cases}0{\text{ für }}{\vec {a}}={\vec {0}}{\text{ oder }}{\vec {b}}={\vec {0}}\\|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\,\cos \sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}})=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\,\cos \varphi \end{cases}}$

Mit dieser Definition kannst du etwas genauer erkennen, was das Skalarprodukt geometrisch bedeutet. Wir wollen nun zeigen, dass beide Definitionen äquivalent sind und beweisen dazu den folgenden

Satz (Äquivalenz der Definitionen zum Skalarprodukt)

Die geometrische und die algebraische Definition des Skalarprodukts sind äquivalent

Beachte: Im weiteren Beweis werden wir verwenden, dass das Skalarprodukt distributiv ist. Wir nutzen hier, dass das Skalarprodukt als eine Matrizenmultiplikation einer $(n\times 1)$-Matrix und einer $(1\times n)$-Matrix aufgefasst werden kann. Damit ist auch das Skalarprodukt distributiv.

Außerdem werden wir benutzen, dass der Winkel zwischen ${\mathfrak {e}}_{i}\,\land \,{\mathfrak {e}}_{j}\quad i\neq j$ gleich $90^{\circ }$ ist, und somit gilt $\cos \sphericalangle ({\mathfrak {e}}_{i},{\mathfrak {e}}_{j})=0$. Der Winkel $\sphericalangle ({\mathfrak {e}}_{i},{\mathfrak {e}}_{i})=0^{\circ }\quad \forall (i=1,\ldots ,n)$ und damit ist $\cos \sphericalangle ({\mathfrak {e}}_{i},{\mathfrak {e}}_{i})=1$

Wie kommt man auf den Beweis? (Äquivalenz der Definitionen zum Skalarprodukt)

Seien ${\vec {v}}=(v_{1},\ldots ,v_{n})^{T};{\vec {w}}=(w_{1},\ldots ,w_{n})^{T}\in K^{n}$ gegeben. Wir wissen bereits, dass wir jeden dieser beiden Vektoren als Linearkombination der kanonischen Basisvektoren $({\mathfrak {e}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {e}}_{n})$. Wir erhalten damit ${\vec {v}}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}\cdot {\mathfrak {e}}_{i}$ und ${\vec {w}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\cdot {\mathfrak {e}}_{i}$ Dann gilt nach der geometrischen Definition:

${\mathfrak {e}}_{i}\circ {\mathfrak {e}}_{j}=\mid {\mathfrak {e}}_{i}\mid \mid {\mathfrak {e}}_{j}\mid \cos(\varphi )=0$

und es gilt weiter, da die Länge $\mid {\mathfrak {e}}_{i}\mid$ der Basisvektoren gleich 1 ist

${\mathfrak {e}}_{i}\circ {\mathfrak {e}}_{i}=\mid {\mathfrak {e}}_{i}\mid \mid {\mathfrak {e}}_{i}\mid \cos(\varphi )=1\quad \forall i=(1,\ldots ,n)$

Wir werden nun zeigen, dass die algebraische und die geometrische Definition des Skalarprodukts zum selben Ergebnis führt.

Beweis (Äquivalenz der Definitionen zum Skalarprodukt)

Aus der algebraischen Definition des Skalarprodukts ergibt sich:

${\vec {v}}\circ {\vec {w}}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}w_{i}$

Wir wollen nun zeigen, dass die geometrische Definition zu selben Ergebnis führt. Aus der geometrischen Definition folgt:

${\begin{aligned}{\vec {v}}\circ {\vec {w}}&=\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}\cdot {\mathfrak {e}}_{i}\right)\circ \left(\sum _{j=1}^{n}w_{j}\cdot {\mathfrak {e}}_{j}\right)=&\quad &|\ {\color {OliveGreen}{\text{Darstellung durch kanonische Basis}}}\\[0.3em]&=\,\sum _{i=1}^{n}\left(v_{i}\left(\sum _{j=1}^{n}w_{j}({\mathfrak {e}}_{i}\circ {\mathfrak {e}}_{j})\right)\right)=&&|\ {\color {OliveGreen}{\text{Distributivität des Skalarprodukts}}}\\[0.3em]&=\,\sum _{i=1}^{n}\left(v_{i}\left(\sum _{j=1}^{n}w_{j}({\mathfrak {e}}_{i}\circ {\mathfrak {e}}_{j})\right)\right)=&&|\ {\color {OliveGreen}{\text{Definition als Matrixmultiplikation}}}\\[0.3em]&=\,\sum _{i=1}^{n}v_{i}w_{i}&&|\ {\color {OliveGreen}{\text{da }}{\mathfrak {e}}_{i}\circ {\mathfrak {e}}_{i}=1\,\land \,{\mathfrak {e}}_{i}\circ {\mathfrak {e}}_{j}=0\,\forall i\neq j}\end{aligned}}$

Dies ist aber das gleiche Ergebnis wie aus der algebraischen Definition.

Eigenschaften des Skalarprodukts

Aus der Definition des Skalarprodukts ${\vec {a}}\circ {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\,\cos \varphi$ ergibt sich direkt:

• Sind ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ parallel und gleichorientiert, d.h. $\varphi =0^{\circ }$ und damit $\cos 0^{\circ }=1,$ so gilt

${\vec {a}}\circ {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|$

• Sind ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ parallel und entgegengesetzt orientiert, d.h. $\varphi =180^{\circ }$ und damit $\cos {180}^{\circ }=-1,$ so gilt

${\vec {a}}\circ {\vec {b}}=-|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|$

• Insbesondere ergibt das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst das Quadrat seiner Länge

${\vec {a}}\circ {\vec {a}}=|{\vec {a}}|\,|{\vec {a}}|\,\cos 0^{\circ }=|{\vec {a}}|^{2}$

• Sind ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ orthogonal, d.h. $\varphi =90^{\circ }$ und damit $\cos {90}^{\circ }=0,$ so gilt

${\vec {a}}\circ {\vec {b}}=0$

• Umgekehrt gilt für ${\vec {0}}\neq {\vec {a}},\,{\vec {b}}$

Ist ${\vec {a}}\circ {\vec {b}}=0$ dann ist ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ orthogonal, denn

$|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\,\cos \varphi =0\,\Rightarrow \,\cos \varphi =0\,\Rightarrow \,\varphi =90^{\circ }$

• Ist $\sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}})$ ein spitzer Winkel, d.h. $0^{\circ }<\varphi <{90}^{\circ }$ und damit $0<\cos \varphi <1,$ so gilt

${\vec {a}}\circ {\vec {b}}>0$

• Ist $\sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}})$ ein stumpfer Winkel, d.h. ${90}^{\circ }<\varphi <{180}^{\circ }$ und damit $-1<\cos \varphi <0,$ so gilt

${\vec {a}}\circ {\vec {b}}<0$