Mathe für Nicht-Freaks: Abstellraum/Komplexe Zahlen

Ausblick: Körper der Drehstreckungen

Satz (Körper der Drehstreckungen)

Die Menge

$D={\text{span}}\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\right\}\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R}$

bildet mit der Matrixaddition und -multiplikation den Körper der Drehstreckungen. Dieser Körper ist isomorph zu $\mathbb {C}$ vermöge dem Körperisomorphismus

$\varphi \colon \mathbb {C} \to D,a+b\,\mathrm {i} \mapsto {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}.$

To-Do:

Den Beweis werde ich demnächst einfügen (Christian I.)

Beweis

Trivial.

Wieso die e-Funktion?

• Wir haben uns bereits klargemacht, dass die Multiplikation mit komplexen Zahlen eine Streck-Drehung ist
• wir kennen die cos + i sin Darstellung
• Eine Multiplikation (d.h. DREHUNG) arbeitet über die ADDITION der Winkel

$\implies$ Wir suchen eine Funktion, bei der ein Teil ADDIERT wird, wenn man zwei dieser Funktionen MULTIPLIZIERT

• Eine Multiplikation ist zum Teil auch eine Streckung.

$\implies$ ein Teil der Funktionen soll MULTIPLIZIERT werden, wenn man zwei dieser Funktionen MULTIPLIZIERT

• Wird die $\cos \varphi$ + i $\sin \varphi$ Darstellung nach dem Winkel $\varphi$ abgeleitet, wird aus z -> -z
• Als DGL bedeutet das $\partial _{\varphi }^{2}{\text{f(x)}}=-{\text{f(x)}}$

$\implies$ Die e-Funktion erfüllt alle diese Bedingungen

• Man kann verschiedene Funktionen durchprobieren, aber mit Schulwissen ist sehr schnell klar, dass nur die e-Funktion die Bedingungen erfüllt.
• DGL: $\partial _{\varphi }^{2}e^{\mathrm {i} \varphi }=\mathrm {i} ^{2}e^{\mathrm {i} \varphi }=-e^{\mathrm {i} \varphi }$

$e^{\mathrm {i} \varphi }$ liegt auf dem Einheitskreis

Wenn eine Zahl den Betrag 1 besitzt, liegt sie auf dem Einheitskreis. Sei also $\varphi \in [0,2\pi )$ ein beliebiger Winkel. Wir argumentieren:

To-Do:

Gleichung in Zeilen aufteilen und einzelne Schritte erklären, z.B. $z{\overline {z}}=|z|^{2}$ Erklärung zu (...

$|e^{\mathrm {i} \varphi }|^{2}=e^{\mathrm {i} \varphi }\cdot {\overline {(e^{\mathrm {i} \varphi })}}=e^{\mathrm {i} \varphi }\cdot e^{({\overline {\mathrm {i} \varphi }})}=e^{\mathrm {i} \varphi }\cdot e^{-\mathrm {i} \varphi }=e^{\mathrm {i} \varphi +(-\mathrm {i} \varphi )}=e^{0}=1$

Erklärung zu ${\overline {(e^{\mathrm {i} \varphi })}}=e^{({\overline {\mathrm {i} \varphi }})}$: Wir wissen, dass die Konjugation sich mit endlichen Summen verträgt. Auch wenn wir diese Eigenschaft im Moment nur im Endlichen nachweisen können, gilt sie ebenfalls für unendliche Summen. Schreiben wir die Reihendarstellug des Terms ${\overline {(e^{\mathrm {i} \varphi })}}$und ziehen die Konjugation immer weiter rein, so erhalten wir, da $k$ natürlich ist und somit ${\overline {k}}=k$ gilt:

${\overline {(e^{\mathrm {i} \varphi })}}={\overline {\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{(\mathrm {i} \varphi )}^{k}}{k!}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\overline {\frac {{(\mathrm {i} \varphi )}^{k}}{k!}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{({\overline {\mathrm {i} \varphi }})}^{k}}{k!}}=e^{({\overline {\mathrm {i} \varphi }})}$